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一、1.解析:设cn?|zn?1?zn|?|(1?Sn?c1?c2???cn?2[1?(1?1?i2)nn?1?(1?i2)|?(nn22)n?1,
2222)]?1?(2?22)2
?limSn?n??12?222?2?22?1?22
答案：1+
a2n?12.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an=
31，正三角形的内
切圆构成等比数列{rn}，可得rn=
62n?1a,?
33?2∴这些圆的周长之和c=lim2π(r1+r2+?+rn)=
n?? a2，
面积之和S=limπ(n2+r22+?+rn2)=
n???9a2
?9答案：周长之和
332πa，面积之和
an?1annn?1a
2
二、3.解：(1）可解得
?，从而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
(3)Tn－Sn=2n－n2－1，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2＜S2；n=3时，T3＜S3;n=4时，T4＜S4；n=5时，T5＞S5；n=6时T6＞S6.猜想当n≥5时，Tn＞Sn，即2n＞n2+1
可用数学归纳法证明(略）.
4.解：(1）由an+2=2an+1－an?an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，?
d=
a4?a14?1=－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，
2???n?9n 1?n?5故Sn=?2
??n?9n?40 n?5(3)bn=
1n(12?an)?1n(2n?2)12?111(?) 2nn?112)?(12?13)???(1n?1n?1)]?n2(n?1)?Tn?b1?b2???bn?[(1?；要使Tn＞
m32总成立，需
m32＜T1=
14成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.
5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1?①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－
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man+1，即(m+1)an+1=man对任意正整数n都成立.
∵m为常数，且m＜－1 ∴
an?1an?mm?1，即{
anan?1}为等比数列.
13(2)当n=1时，a1=m+1－ma1，∴a1=1，从而b1=
mm?1.
由(1)知q=f(m)=
，∴bn=f(bn－1)=
bn?1bn?1?11bn (n∈N*,且n≥2)
∴
1bn?1?11bn?1，即
1bn?1bn?1?1，∴{}为等差数列.∴
1bn=3+(n－1)=n+2，
?bn?n?2m(n∈N*).
)n?1?an?(m?1,?lim(bn?lgan)?lim[n??n??n?1n?213?109lg?mm?114?]?lgmm?11,?1n?2)?1
而lim3(b1b2?b2b3???bn?1bn)?lim3(n??n??1415???n?1由题意知lgmm?1?1,?mm?1?10,?m???b1?1?6.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得：?解得b1=1,d=3, 10(10?1)d?145?10b1?2?∴bn=3n－2.
(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+
1414)+?+loga(1+
13n?2)
)?(1+
1313n?2)］，
13logabn+1=loga33n?1.
14因此要比较Sn与小，
logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)?(1+
13n?2)与33n?1的大
取n=1时，有(1+1)＞33?1?1 取n=2时，有(1+1)(1+ 由此推测(1+1)(1+
1414)＞33?2?1?
13n?2)?(1+)＞33n?1 ①
若①式成立，则由对数函数性质可判定： 当a＞1时，Sn＞
13logabn+1，
13
② ③
当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1，
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下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立. (ⅱ)假设当n=k时(k≥1），①式成立，即：
(1?1)(1?1414)?(1?13k?213k?223)?33k?1.那么当n=k+1时，
13(k?1)?23(1?1)(1?3)?(1?)(1?)?233k?1(1?13k?13)?23k?13k?1(3k?2).?[3k?13k?1(3k?2)]?[3k?4]?3(3k?2)?(3k?4)(3k?1)(3k?1)32
?9k?4(3k?1)2?0,?143k?13k?1(3k?2)?1)(1?3k?4?1)?333(k?1)?1因而(1?1)(1?)?(1?3k?23k?13(k?1)?1这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n都成立. 由此证得： 当a＞1时，Sn＞
1313logabn+1；当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1?.
7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t. ∴a2=
2t?3a22t?3. ,?3ta13t又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ① ②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0. ∴
anan?1?2t?33t,n=2,3,4?,所以{an}是一个首项为1公比为
2t?33t的等比数列；
(2)由f(t)=
2t?33t=
23?1t,得bn=f(
1bn?123)=
23+bn－1?.
可见{bn}是一个首项为1，公差为于是bn=1+(3)由bn=是b2n=
4n?13233的等差数列.
(n－1)=
2n?13;
532n?1,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和
，公差均为
43的等差数列，于
,
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+?+b2n－1b2n－b2nb2n+1? =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+?+b2n(b2n－1－b2n+1) =－
434312534n?13492
(b2+b4+?+b2n)=－
·n(+)=－ (2n+3n)
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