所以a2n?1?1?2(a2n?1?1)，所以数列?a2n?1?1?是以2为首项，2为公比的等比数列， 由a1?1，可得到a2n?1?1?2n，a2n?1?2n?1，n?N?
又因为a2n?2?2a2n?1?2?a2n?1?，所以a2n?2?2a2n?2??????????6分
由a2?2，同样可以求得 a2n?2n?1?2，n?N??????????????8分
所以S2m?a1?a2?a3?a4????a2m?1?a2m
??a1?a3???a2m?1???a2?a4???a2m?
2m23m?1?2?2???2?m?2?2???2?2m
m?1m?2?(2?2?m)?(2?4?2m)
m?1?3m?6，即S2m?3?2m?1?3m?6???????????10分 ?3?21（3）因为f(x)?在?0,???上单调递减且f(x)?0，
x?1由an?1?f(an)，a1?1可知数列?an?中的各项均满足0?an?1
????由要证明不等式的结构可令f(x)?x，解得x?故猜想：0?a2n?5?1， 25?1?a2n?1?1，??????????????????13分 2112，a3?f()?， 223下面用数学归纳法证明：
证明：（i）当n?1时，a2?f(1)?所以0?a2?5?1?a3?1，命题成立； 2（ii）假设n?kk?N???时，命题成立，即有0?a2k?由于f(x)在区间?0,???上单调递减， 所以 f(0)?f(a2k)?f(即0?5?1?a2k?1?1， 25?1)?f(a2k?1)?f(1) 215?1?a2k?2??a2k?1?1， 22再次利用函数f(x)在区间?0,???上单调递减，
得到 f(0)?f(a2k?2)?f(即0?5?1)?f(a2k?1)?f(1)， 215?1?a2k?2??a2k?3?1， 22所以n?k?1时命题也成立，
5?1所以0?a2n??a2n?1?1
25?1即存在常数p?，使a2n?p?a2n?1对任意正整数n都成立.???????16分
2
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如图，矩形ABCD中，AB?2,BC?4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，A建立直角坐标系，
（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹； （2）若动点P分别到线段AB、CD中点M、N的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；
（3）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到曲线C的距离．若动点P到线段AB的距离与射线CD的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并作出动点P的大致轨迹．
解：（1）设P(x,y)，则y?1?y?1?1.??????????????????2分
化简得y??2或y?0. 故动点P的轨迹为三条平行线；?????????4分 （2）D2B4C?x?2??y2?2?x?2??y2?4.22化简得
?x2?1?2?y2?1.
?
?x2?y2?4?2?16x2?16.
对称性：关于原点、x、y轴对称；???????6分 顶点：22,0,?22,0,?0,0?；???????8分 范围：x?22,y?1.???????????10分
作图如图（不计分）
（3）同时从几何和代数角度进行分析
当y??1时，y??1?4x?1?x?4，????12分 当?1?y?1时，x??22或x?0，???????14分 当y?1时，y?1?22????16?x?2?2??x?2?，?????16分
2
作轨迹大致如图.分三个区域给分： ① 在直线y??1的下方：两段曲线； ② 在两直线y??1,y?1之间：三条平行线；
③ 在直线y?1的上方：三条曲线.??????????????????18分