广东省汕头市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
2
1．（5分）已知集合A={1，2z，zi}，B={2，4}，i为虚数单位，若A∩B={2}，则纯虚数z为（） A． i B． ﹣i C． 2i D．﹣2i 2．（5分）已知随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ X＞k）=P（ X＜k﹣4），则k的值为（） A． 6 B． 7 C． 8 D．9
3．（5分）抛物线y=x的焦点到准线的距离为（） A． 2
B． 1
C．
D．
2
4．（5分）以下说法错误的是（）
A． “log3a＞log3b”是“（）＜（）充分不必要条件 B． ?α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ C． ?m∈R，使f（x）=m
2
a
b
是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增
2
D． “?x∈R，x+1＞3x”的否定是“?x∈R，x+1＜3x”
5．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则实数a的值为（） A． 或﹣1
B． 2或
C． 2或﹣1
D．2或1
6．（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）
A． 100（3+）cm B． 200（3+）cm C． 300（3+）cm D．300cm 7．（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）
2222
A． B．
C． D．
8．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）
2
A． f（x）=（x﹣1），T将函数f（x）的图象关于y轴对称
x﹣1
B． f（x）=2﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称 C． f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称 D．
，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称
二、填空题（共5小题） 9．（5分）不等式|x﹣1|＞x﹣1的解集为．
10．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4+a2012+a2014=8，且Sn是该数列的前n和，则S2015=． 11．（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有种不同走法
12．（5分）如图，在△ABC中，∠B=
，点D在BC上，cos∠ADC=，则cos∠BAD=．
13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S的取值范围是
三、坐标系与参数方程选做题（满分5分） 14．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题） 在极坐标系中，定点
，点B在直线
上运动，当线段
AB最短时，点B的极坐标为．
四、几何证明选做题（满分0分） 15．如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2PC=1，则圆O的半径等于．
，
五、解答题（共6小题）
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（（1）求A的值．
x+
），x∈R，且f（﹣2015）=3
（2）指出函数f（x）在x∈[0，8]上的单调区间（不要求过程）． （3）若f（
﹣1）+f（
+1）=，a∈[0，π]，求cos2a．
17．（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示： 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 35 25 a 10 b 已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．以此样本估计总体，试解决以下问题
（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率； （Ⅱ）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望． 18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=BC （1）求证：MN⊥AB
（2）求二面角P﹣AN﹣M的余弦值．
19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有2Sn﹣nan+1=0，数列{bn}满足bn=
，T（n）是数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式
（2）用数学归纳法证明：当n≥2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n﹣1）=nT（n） （3）设An=
20．（14分）已知a＞0，且a≠1函数f（x）=loga（1﹣a） （1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性
（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e）（x﹣m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．
f（x）
2
x
++…+，试证：
＜An＜
．
21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端
点到F的距离为
（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程
22
（2）点P（x0，y0）是圆G：x+y=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值．
广东省汕头市2015届高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知集合A={1，2z，zi}，B={2，4}，i为虚数单位，若A∩B={2}，则纯虚数z为（） A． i B． ﹣i C． 2i D．﹣2i
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 根据A，B，以及A与B的交集，得到元素2属于A，列出关于z的方程，求出方程的解即可确定出z．
2
解答： 解：∵A={1，2z，zi}，B={2，4}，且A∩B={2}，
2
∴2z=2或zi=2，
解得：z=±1（不合题意，舍去）或z=﹣2i， 则纯虚数z为﹣2i． 故选：D．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）已知随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ X＞k）=P（ X＜k﹣4），则k的值为（） A． 6 B． 7 C． 8 D．9
2
考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据正态曲线关于x=5对称，得到两个概率相等的区间关于x=5对称，得到关于k的方程，解方程即可．
解答： 解：∵随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ X＞k）=P（ X＜k﹣4），
∴，
∴k=7， 故选B．
点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=5对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．
3．（5分）抛物线y=x的焦点到准线的距离为（） A． 2
B． 1
C．
D．
2
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
解答： 解：抛物线y=x可知焦点F（0，1），准线方程y=﹣1，
∴焦点到准线的距离是1+1=2． 故选：A．
点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属基础题． 4．（5分）以下说法错误的是（） A． “log3a＞log3b”是“（）＜（）充分不必要条件 B． ?α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ C． ?m∈R，使f（x）=m
2
a
b
2
是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增
2
D． “?x∈R，x+1＞3x”的否定是“?x∈R，x+1＜3x”
考点： 的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
分析： A．“log3a＞log3b”?a＞b＞0?“（）＜（），即可判断出； B．?α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；
3
C．?m=1∈R，使f（x）=x在（0，+∞）上单调递增；
22
D．“?x∈R，x+1＞3x”的否定是“?x∈R，x+1≤3x”，即可判断出．
ab