则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又因为OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可。
由于△DEM∽△DAP，可求得ME= 4R16?4R2 ， 所以OE=9+
2
4R224?R令OE≤R，
22
即9+
4R224?R≤R ，解之得R≥23；
2
所以AD=2R≥43，所以AD的取值范围[ 43，+∞)，
当且仅当AD= 43时，点E在线段PD上惟一存在，此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为
12。
21．（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB ∴BC⊥侧面PAB 又∵BC?侧面PBC ∴侧面PAB⊥侧面PBC）
（II）解：取AB中点E，连结PE、CE 又∵△PAB是等边三角形 ∴PE⊥AB 又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
PE?32BA?3CE?BE2
?BC2?3
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求 （Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD?侧面PCD，AB?侧面PCD，∴AB//侧面PCD 取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面PEF 又∵AB//CD ∴CD⊥平面PEF ∴平面PCD⊥平面PEF 作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=
PE?ECPF?305为所求.
222．解：（1）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，∴AC=
由AB=2a，可推得BC=AC=
2a，∠CAB=45°.
a，∴AC⊥BC.
取AC的中点E，连结D′E，如图9－7－13，则D′E⊥AC.
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∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.
又∵BC?平面β，∴BC⊥D′E. ∴BC⊥α.而D′C?α，∴BC⊥D′C. ∴∠D′CA为二面角β－BC－?的平面角. 由于∠D′CA=45°，∴二面角β－BC－?为45°.
∴AC⊥OE.∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角.∴∠D′EO=60°.在Rt△D′OE中，D′E=
12 （2）如图9－7－14，取AC的中点E，连结D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连结O E.∵AC⊥D′E，
AC=
1322a，D′O=D′E·sin60°=
22a?32?64a.?VD??ABC?D?O?13S△
ABC
·D′O=×
16
12AC·BC·D′O=×2a×2a×
64a=
612a.
3
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