高考达标检测（二） 命题及其关系 充分条件与必要条件
一、选择题
π
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
4π
A．若α≠，则tan α≠1
4π
C．若tan α≠1，则α＝
4
π
B．若α＝，则tan α≠1
4π
D．若tan α≠1，则α≠ 4
解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可． π
所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠. 4
2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 C．否命题真
B．都假 D．逆否命题真
解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
3．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0 B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 |b| <1，所以－2 解析：选C 由直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交可得x2＋y2＝1相交” “0 4．命题p：“?x>e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≤1 C．a≥1 B．a<1 D．a>1 解析：选B 由题意知?x>e，a B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 因为a＋b＝1，所以设a＝cos α，b＝sin α，则asin θ＋bcos θ＝sin(α＋θ)≤1恒成立；当asin 2 2 θ＋bcos θ≤1恒成立时，只需asin θ＋bcos θ＝必要性． a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不满足 6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B 若“a⊥b”，则a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，则x1 ＝2或x＝－；若“x＝2”，则a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件． 2 7．在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B 在△ABC中，当A＝B时，sin A－sin B＝cos B－cos A显然成立，即必要性成立；当sin A－sin π B＝cos B－cos A时，则sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可得sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝，即充 2分性不成立．则在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分条件． 8．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( ) A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件 B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A正确；显然，当m?α时，“m⊥β”?“α⊥β”；当m?α时，“α⊥β” “m⊥β”，故B正确；当m?α时，“m∥n” “n∥α”， n也可能在平面α内，故C错 误；当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，反之不成立，故D正确． 二、填空题 9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：2 10．下列命题正确的序号是________． ①命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是真命题； ②命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件； 1 ④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解的充要条件是a＝±. 2 解析：①否命题“若2a≤2b，则a≤b”，由指数函数的单调性可知，该命题正确； ②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题； 由互为逆否命题可知，③是真命题； ④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解， 2 ??Δ＝1－4a＝0，1 则a＝0或?求解可得a＝0或a＝±，故④是假命题． 2 ?a≠0，? 答案：①②③ ?1x? <2<8，x∈R?，B＝{x|－1 ? ? 是x∈A，则实数m的取值范围是________． ?1x? <2<8，x∈R?＝{x|－1 ? ? ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB，∴m＋1>3，即m>2. 答案：(2，＋∞) 12．给出下列四个结论： ①若am2 ②已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，若变量y与z正相关，则x与z负相关； ③“已知直线m，n和平面α，β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β”为真命题； ④m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充分不必要条件． 其中正确的结论是________(填序号)． 解析：由不等式的性质可知，①正确； 由变量间相关关系可知，当变量y和z是正相关时，x与z负相关，故②正确； ③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误； ④当m＝3时，直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直；当直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直时，(m＋3)m－6m＝0，则m＝3或m＝0， 即m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确． 答案：①②④ 三、解答题 13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题． (2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题． (3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题． ?3??3 ，2?，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，y＝x2－x＋1，x∈?14．已知集合A＝?y??4??2?? 求实数m的取值范围． 337 x－?2＋， 解：y＝x2－x＋1＝??4?1623?7 ，2，∴≤y≤2， ∵x∈??4?16 ?7? ≤y≤2?. ∴A＝?y??16 ? ? 由x＋m2≥1，得x≥1－m2， ∴B＝{x|x≥1－m2}． ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 7 ∴A?B，∴1－m2≤， 1633 解得m≥或m≤－， 44 33 －∞，－?∪?，＋∞?. 故实数m的取值范围是?4??4?? 1．下列四个命题中， ①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”； ②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件； ③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题； ④命题“若m2＋n 2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0且n≠0”； ―→3―→1―→1―→⑤对空间任意一点O，若满足OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点一定共面． 488其中真命题的为________．(填序号) 解析：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”，故①正确； ②x＝4?x－3x－4＝0；由x－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4. 2 2 ∴“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件，故②正确； ③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，是假命题，如m＝0时，方程x2＋x－m＝0有实根，故③错误； ④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故④错误； 311―→3―→1―→1―→ ⑤∵＋＋＝1，∴对空间任意一点O，若满足OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点一定共面， 488488故⑤正确． 答案：①②⑤ 2．已知p：－x2＋4x＋12≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)． (1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________； (2)若“綈p”是“綈q”的充分条件，则实数m的取值范围为________． 解析：由题知，p为真时，－2≤x≤6，q为真时，1－m≤x≤1＋m， 令P＝{x|－2≤x≤6}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)∵p是q的充分不必要条件，∴PQ， ???1－m≤－2，?1－m<－2，∴?或?解得m≥5， ???1＋m>6?1＋m≥6， ∴实数m的取值范围是[5，＋∞)． (2)∵“綈p”是“綈q”的充分条件，∴“p”是“q”的必要条件， 1－m≥－2， ?? ∴Q?P，∴?1＋m≤6， ??m>0， 解得0 ∴实数m的取值范围是(0,3]． 答案：(1)[5，＋∞) (2)(0,3]