求不定积分的方法及技巧小汇总~
1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。则
?f[?(x)]??'(x)dx??f[?(x)]d?(x)?F[?(x)]?C
其中?(x)可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：?ln(x?1)?lnxdx
x(x?1)111 ???x?1xx(x?1)【解】(ln(x?1)?lnx)'?ln(x?1)?lnx12dx??(ln(x?1)?lnx)d(ln(x?1)?lnx)??(ln(x?1)?lnx)?C?x(x?1)?2例2：?1?lnxdx
(xlnx)2【解】(xlnx)'?1?lnx
1?lnxdxlnx1dx????x(x?1)2?(xlnx)2xlnx?C
3.第二类换元法：
设x??(t)是单调、可导的函数，并且?'(t)?0.又设f[?(t)]?'(t)具有原函数，则有换元公式
?f(x)dx??f[?(t)]?'(t)dt
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会
用。主要有以下几种：
(1)a2?x2：x?asint；x?acost(2)x2?a2：x?atant；x?acott；x?asht (3)x2?a2：x?asect；x?acsct；x?achtn(4)nax?b：ax?b?t(5)nax?bnax?b：?tcx?dcx?d
1(6)当被积函数含有x?max2?bx?c，有时倒代换x?也奏效。t4.分部积分法.
公式：??d???????d?
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取?、?时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：?x3?arccosx1?x2dx
【解】观察被积函数，选取变换t?arccosx,则
?x3arccosx1?x2cos3tdx??t(?sint)dt???tcos3tdt?
sint132t(sint?1)dsint?td(??3sint?sint)?11tsin3?tsint??(sin3t?sint)dt?3311 tsin3?tsint??(sin2t?1)dcost?33121tsin3?tsint?cost?cos3t?C?339121?x3?x?(x2?2)1?x2arccosx?C933例4：?arcsin2xdx 【解】
22arcsinxdx?xsinx??x2arcsinx?11?x2dx
xarcsinx??2arcsinxd1?x2?xarcsinx?21?x2arcsinx??1?x2xarcsinx?21?x2arcsinx?2x?C21?x2dx?
上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在??d???????d?中，?、?的选取有下面简单的规律：
(1)??Pm(x)，??eax,sinax,cosax(2)??lnx,arctanx,arcsinx，??Pm(x)(3)??e，??cos?x,sin?xax
(3)会出现循环，注意?，?选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是： （lnx arcsinx） Pm(x) （a^x sinx) μ ν 但是，当??lnx，??arcsinx时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：
eaxI1??esinbx?dx?2(asinbx?bcosbx)?Ca?b2 eaxaxI2??ecosbx?dx?2(acosbx?bsinbx)?Ca?b2ax（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）
5.几种特殊类型函数的积分。
（1）有理函数的积分
有理函数
P(x)P*(x)P*(x)先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)dx(a2?x2)n个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现In??时，记得用递推公式：In?x2n?3?In?1） 222n?122a(n?1)(x?a)2a(n?1)x6?x4?4x2?2例5：?dx 322x(x?1)x6?x4?4x2?2x6?x44x2?2x4x2?2【解】 ?32???x3(x2?1)2x(x?1)2x3(x2?1)2x2?1x3(x2?1)2
x12dx??x2?12ln(x?1)?C 2224x?24x?22x?122dx?xdx?dx??x?x3(x2?1)2?x4(x2?1)2?x4(x2?1)22??1(??1)2??2??2(??1)2d????2(??1)2d??
11111(?)d????C???C22??2(??1)2??1?x(x?1)故不定积分求得。
（2）三角函数有理式的积分
x?2tan?2?sinx?x?1?tan2?2 万能公式：?x?1?tan22?cosx??2x1?tan?2?P(sinx,cosx)xdx可用变换t?tan化为有理函数的积分，但由于计算较烦，?Q(sinx,cosx)2应尽量避免。
对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成
sinxcosx或。再用待定系数 cosxsinxA(acosx?bsinx)?B(acos'x?bsin'x)来做。（注：没举例题并不代表不重要~）
acosx?bsinx
（3）简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1?x时，可令x?tan2t；同时出现x和1?x时，可令x?sin2t；同时出现1?x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1?x2和arccosx时，可令x=cost等等。