姓名：班级：学号：
Note：常见代换类型:
?f(x,nax?b)dx，t?nax?b?f(x,x2?a2)dx，x?asect
??f(x,a2?x2)dx，x?asint?f(x,a2?x2)dx，x?atant
ax?bcx?df(ax)dx，t?ax?f(x,nax?bcx?d)dx，t?n
三、分部积分法：uv?dx?uv?u?vdx.
Note：①按“ 反对幂指三” 的顺序，谁在前谁为u ②u?v要比uv?容易计算；
③适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：
?????arcsinx?1dx，?exdx（t?x）；
④多次使用分部积分法：
uu?u???求导
?vvv?积分?三、 有理函数的积分 1. 假分式= 多项式 + 真分式??P(x)??；
?Q(x)?2222. 真分式= （拆成）若干部分分式之和；
Note：拆项步骤：①将分母分解：Q(x)?(x?a)?(x?px?q) ②根据因式的情况将真分式拆成分式之和：
?p2?4q?0?
PAA2B1x?C1B2x?C21(x) ?1???2222Q(x)x?a?x?a?x?px?q(x?px?q)3. 逐项积分.
注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！
第五章 定积分
一、 定积分的概念及性质 1.定义：
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi ，其中?i=??0i?1n(b?a)i ； n2．几何意义：f(x)?0,??babaf(x)dx——曲边梯形面积 f(x)dx——曲边梯形面积的负值
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f(x)?0,
姓名：班级：学号：
3.性质： （1） （2）（3）（4）（5）
?baf(x)dx???f(x)dx,?f(x)dx?0; baaa????babababadx?b?a
kf(x)dx?k?f(x)dx;
ab[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx;
aabbf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx;
accb（6）若在[a,b]上f(x)?0，则
?baf(x)dx?0;
（7） 设M?maxf(x),m?minf(x)，则m(b?a)?[a,b][a,b]?baf(x)dx?M(b?a);
（8）积分中值定理：
?baf(x)dx?f(?)(b?a)，??[a,b].
4. 变上限函数：?(x)?Note：
?xaf(t)dt
dbd?(x)；??f(x)f(t)dtf(t)dt?f[?(x)]??(x) ??xadxdxd?d?(x)?f(t)dtdx??(x)dx????a(x)f(t)dt???(x)a?f(t)dt?
??f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)
5.牛顿—莱布尼茨公式：
?baf(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a).
b二、 定积分的计算
1. 换元积分：换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限； 2. 分部积分：
?bauv?dx =uva??u?vdx ；
abb3. 若f(x)为奇函数，则
?a?aaf(x)dx?0 ；
f(x)dx?2?f(x)dx .
0a??b若f(x)为偶函数，则4. 广义积分：
?a?a?a??f(x)dx?lim?f(x)dx ; ?b???bf(x)dx?lim?f(x)dx ;
a??ba三、 定积分的应用 1. 平面图形的面积
直角坐标：A??baf(x)dx
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推广：A=?b[f(x)?g(x)]dx A=?dac[f(y)?g(y)]dy
极坐标：A?1?2???2(?)d? 2.曲线的弧长 （1）s??b2ba1?y?dx??a1?f?2(x)dx，y?f(x)(a?x?b)
（2）s?????2(t)???2(t)dt，??x??(t)??y??(t)(??t??) （3）s????r2(?)?r?2(?)d?，r?r(?)(?????)
3. 已知平行截面面积函数为A(x)的立体体积：V??b
aA(x)dxNote：特别的，当立体为曲线f(x)绕坐标轴形成的旋转体时， ①f(x)绕x轴：V??baπ[f(x)]2dx ②f(x)绕y轴：V??baπ[?(y)]2dy
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