则称函数列?fn?依测度收敛于f，记为：fn(x)?f(x).
注意：依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.
二、基本理论
1可测函数的充要条件
定理1、设f(x)是定义在可测集E上的实函数，下列任一条件都是f(x)在E上可测的充要条件：
1）对任何有限实数a，E[f≥a]都可测； 2）对任何有限实数a，E[f＜a]都可测； 3）对任何有限实数a，E[f≤a]都可测；
4）对任何有限实数a ，b（a＜b），E [a≤f＜b ]都可测（充分性要假定f(x)是有限函数）
2可测函数的运算
1）设f(x),g(x)都在E上可测，则下列函数（假定它们在E上有意义）都在E上可测：① f(x)?g(x)；② f(x)?g(x)；③
1，④ f(x). f(x)2）可测函数列的确界函数仍可测，设?fn(x)?是在E上可测函数列，则下确界函数
?(x)?inf?fn(x)?和上确界函数?(x)?sup?fn(x)?都在E上可测
n3）可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数. 3、可测函数与简单函数的关系
任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数. 4、连续函数与可测函数的关系
（定理2）连续函数一定是可测函数，但反之，不真.
5 叶果洛夫定理（见书P87）
定理告诉我们：满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”一致收敛的. 6可测函数的构造 定理1（鲁津）（见书P88）定理说明：一般的可测函数是“基本上连续”的函数. 7、依测度收敛与收敛的关系.
定理1（黎斯）设在E上?fn?测度收敛于f，则存在子列f三 基本题目
i?n?，在E上a.e.收敛于f.
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1、证明：f(x)在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，集E[f ＞r]是可测的. 证: 必要性：∵f(x)在E上可测,由定义对任意有限实数a, 点集E[f ＞a]是可测的，特别地当a为任一有理数r时，E[f ＞r]也可测.
充分性：已知对任一有理数r可测，下面只须证明对任一无理数a，点集E[f ＞a]可测. 取一递增的有理数列?rn?：rn?a,n?1,2,3,?,且limrn?a，
n??∵E?f?a???E[f＞n?1?已知 E?f＞rn?可测，n?1,2,3,?.∴?E?f?r? 可测（可r]，
?nn?1n测个可测集的交集仍可测）, 即E?f?a?可测, 由可测函数的等价条件知点集E[f ＞a] 也可测.
所以，对任意有限实数a，点集E?f?a?都可测，由定义知f(x)在E上可测.充分性成立.
综合两方面的证明知，命题得证.
2、试述可测函数的定义，答案见§1定义1.
第五章 积分论
引入：为克服R-积分的不足，引入L-积分. 一、基本概念：黎曼积分（R积分），勒贝格积分（L积分），函数的下方图形.
1黎曼积分的（确界式）定义
黎曼积分、简记为R积分，即数学分析中的定积分.回顾R积分的确界式定义见书P100定义1.
2勒贝格积分的定义
(1）设f(x)是E上的有界函数，mE＜∞ 1）对E的任一可测分化D??Ei?，Ei(i?1,2,3,?,n)为互不相交的可测集 2）令Bi?supf(x) biinff(x)
x?Eix?Ei作乘积BimEi bimEi 求和：
?BmEii?1niini?S(D,f) ——大和
?bmEi?1?s(D,f)——小和
3）求L上、下积分
7
令：?Ef(x)dx?infS(D,f) ——L上积分
D?Ef(x)dx?supS(D,f)——L下积分
D4）若?Ef(x)dx??Ef(x)dx，则称f(x)在E上L可积，且称此共同值为f(x) 在E
上的L积分，记为：?Ef(x)dx.
2） 一般可积函数的勒贝格积分的定义
把L积分从mE有限,f(x)在E上有界,推广到mE没有限制, f(x)在E上是否有界不要求的情形,推广步骤分为:
第一步 非负函数情形 见书P115
第二步 一般函数(不限于非负)的情形 见书P116 推广后的L积分的性质 见书P117
3 函数的下方图形
二、基本理论
1 L可积的充要条件
1）设f(x)在可测集E(mE??)上有界，f(x)在E上L可积?对???0，存在E的可测分划D，使 S(D,f)?S(D,f)???mE??，这里?iii?1ni?Bi?bi.
2)设f(x)在可测集E(mE＜∞)上有界,则f(x)在E上L可积 ? f(x)在E上可测. 2 L积分的运算性质
设f(x)、 g(x)可测集E(mE＜∞)上有界且L可积,则f(x)?g(x) 、 f(x)?g(x) 、 f(x) /g(x) (但infg(x)?0)及f(x) 在E上都是可积的.
x?E3 L积分与R积分的关系
设f(x)在[a,b]上R可积,则f(x)在[a,b]上L可积,且有相同的积分值, 即
?baf(x)dx?
?[a,b]f(x)dx
4 L积分的性质
（1） 若 f(x)在E上L可积,则 f(x) 在E的任何子集上也可积 （2）对积分区域的可加性: 若f(x)在E=A?B上有定义,A?B=?,且在A,B上分别可积,则
?Ef(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx
AB（3） 线性运算性质
1) 设f(x) 、 g(x) 在E上L可积,则
?[f(x)?g(x)]dx=?EEf(x)dx+?g(x)dx
E 8
2) 设f(x)在E上L可积,C为常数,则
?Cf(x)dx=C?EEf(x)dx
（4） 不等式性质: 设f(x) g(x) 在E上L可积,且f(x) ≤g(x),则
?Ef(x)dx≤?g(x)dx
E 特别地 当b≤f(x)≤B是有bmE ≤
?Ef(x)dx≤BmE
（5） 绝对值可积性: 设f(x)在E上L可积,则f(x)在E上L可积,且
?Ef(x)dx??f(x)dx
E（6） 设f(x)在E上L可积,f(x)≥0,且
?Ef(x)dx=0,则f(x)=0, a . e．与E;
（7） 绝对连续性: 设f(x)在E上L可积,则对于任何可测集A?E,有 lim
5 积分的极限定理
1 ） 勒贝格控制收敛定理(定理1) 设 (1) (2) (3)
nmA?0A?f(x)dx=0
?f?是可测集E上的可测函数列;
ffn(x)≤F(x) a e与E,n=1,2……,且F(x) 在E上可积分
n(x)? f(x)
n??E 则f(x) 在E上可积分,且lim?fn(x)dx=?f(x)dx=?limEEn??fn(x)dx即极限运
算与积分的运算可交换顺序 2） 列维定理 (定理2) 见书P126 3） L逐项积分:
??fEn?1?n(x)dx=??n?1?Efn(x)
?4）L积分的可数可加性 设f(x) 在E上积分确定,E=
??E,E为互不相交的可测集,
i?1ii则
?Ef(x)dx=??f(x)dx
i?1Ei5） 法都引理 见书P128 6 勒贝格积分的几何意义 设f(x)为可测集E?在E上的下方图形. 三 基本题目
Rn上的非负可测函数,则
?Ef(x)dx=mG(E,f),其中G(E,f)为f(x)
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1, 设f(x)在可测集E(mE＜∞)上有界,试给出f(x) 在E上L积分的定义 答案见§2 定义1
2 设D(x)=1x为有理数 x?[0,1]， 1)证明D(x)在[0,1]上L可积，
?0x为无理数 2)求
?[0,1]D(x)dx
1) 证∵D(x)为[0,1]上简单函数 ∴D(x)在[0,1]上可测 又D(x)?1 即D(x)在[0,1]上有界 而[0,1]为可测集
∴D(x)在[0,1]上L可积
2) 解: ∵ D(x)在[0,1]上L可积
令E为[0,1]上的有理数集合，则[0,1]\\E为[0,1]上的无理数集合,有L积分的性质得
?[0,1]D(x)dx =?D(x)dx+?E[0,1]\\ED(x)dx
∵ E为[0,1]上的有理数m全体组成的集合,它是全体有理数集合Q的子集
合 又 mQ=0
∴ mE=0
有差集的可测性知: m([0,1]\\E)=m[0,1]－mE=1－0=1 ∴
?[0,1]D(x)dx=?D(x)dx+?E[0,1]\\ED(x)dx=?1dx+?0dx
E[0,1]\\E=1?mE+0=1?0+0=0+0=0
3 试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.
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