2019学年北师大版数学精品资料
综合法和分析法的应用
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：会用分析法和综合法证明问题；了解分析法和综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
三、教学方法： 探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习准备
1、已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，则
11??4”，试请此结论推广猜想。 a1a2111??....?? n2） a1a2an（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，则
1a1b1c2、已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求证：???9.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 3、讨论：如何证明基本不等式
a?b?ab(a?0,b?0)。 2 （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
（二）、探析新课 1. 探析例题
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) +
c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
②综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
③ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
④ 出示例2：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤出示例3：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
⑥分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
2、课堂练习：（1）、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证
b?c?aa?c?ba?b?c???3. abc（2）、证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为
l4l4ll，截面积为?()2，2?2?l2l)> ()2. 2?4周长为l的正方形边长为，截面积为()2，问题只需证：?(（三）、 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,???，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径。
（四）、作业布置：
1、A,B为锐角，且tanA?tanB?3tanAtanB?3，求证：A?B?60. （提示：算
tan(A?B)）
2、 已知a?b?c, 求证：
114??. a?bb?ca?c212231333、 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(x?y)?(x?y). 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
4、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2?a2?b2?4ab?43S. 略证：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?23absinC，
?即证：2?cosC?23sinC，即：3sinC?cosC?2，即证：sin(C?)?1（成立）.
6五、教学反思：