∴PC∥平面BDE.
(3)解 无论点E在任何位置，都有BD⊥CE. 证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PA， 又∵AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC， ∴BD⊥平面PAC.
∵无论点E在任何位置，都有CE?平面PAC， ∴无论点E在任何位置，都有BD⊥CE. 热点三 平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．
例3 (2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE中， ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P－ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若四棱锥P－ABCD的体积为23，求四面体BCDM的体积．
1(1)证明 取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示，则MN∥CD，MN＝CD.
2
1
又AB∥CD，AB＝CD，∴MN∥AB且MN＝AB，
2∴四边形ABMN为平行四边形，∴AN∥BM， 又BM⊥平面PCD， ∴AN⊥平面PCD， ∴AN⊥PD，AN⊥CD.
由ED＝EA，即PD＝PA及N为PD的中点，可得△PAD为等边三角形， ∴∠PDA＝60°，又∠EDC＝150°，
∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AD， 又AN∩AD＝A，AN?平面PAD， AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又∵CD?平面ABCD， ∴平面PAD⊥平面ABCD.
1
(2)解 设四棱锥P－ABCD的高为h，四边形ABCD的面积为S，则VP－ABCD＝hS＝23，
32h
又S△BCD＝S，四面体BCDM的高为.
321h12
∴VBCDM＝××S△BCD＝×hS
32631223
＝××63＝， 63323∴四面体BCDM的体积为. 3
思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．
(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论． 跟踪演练3 (2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC, AB⊥BC, BD⊥DC，点E是BC边的中点， 将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体．
(1)求证： AB⊥平面ADC；
(2)若AD＝1，AB＝2，求点B到平面ADE的距离． (1)证明 因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，
又BD⊥DC，DC?平面BCD，所以DC⊥平面ABD. 因为AB?平面ABD，所以DC⊥AB.
又AD⊥AB，DC∩AD＝D，AD，DC?平面ADC， 所以AB⊥平面ADC.
(2)解 因为AB＝2，AD＝1，所以BD＝3. 依题意△ABD∽△DCB， ABCD2CD所以＝，即＝. ADBD13
所以CD＝6. 故BC＝3.
由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点， BC3
所以AE＝＝. 22BC3
同理DE＝＝.
221
所以S△ADE＝×1× 2因为DC⊥平面ABD， 13
所以VA—BCD＝CD·S△ABD＝.
33设点B到平面ADE的距离为d，
113
则d·S△ADE＝VB—ADE＝VA—BDE＝VA—BCD＝， 326所以d＝66，即点B到平面ADE的距离为. 22
?3?2－?1?2＝2. ?2??2?2
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是______．
答案 (1)
解析 对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交； 对于(2)，作如图②所示的辅助线，
则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
对于(3)，作如图③所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ，
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； 对于(4)，作如图④所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ.
2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以AB∥EF.又EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC， BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC.
又AC?平面ABC，所以AD⊥AC. 押题预测 1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是( ) A．m⊥n?m⊥β C．α∥β?m∥β
B．m⊥n?α⊥β D．m∥n?α∥β
押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力． 答案 C
解析 构造长方体，如图所示．
因为A1C1⊥AA1，A1C1?平面AA1C1C，AA1?平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．
CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题． “若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C. 2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．
(1)求证：A1E⊥FP；
(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
押题依据 以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．
(1)证明 在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示． 因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以