重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
图4.1理想弹簧运动规律模型
对于一个具有先验知识的实验者来说，这个实验是非常容易的。球的运动只是在x轴向上发生，只需要记录下x轴上的运动序列并加以分析即可。但是，在实际中，对于第一次做这个实验的实验者来说（这也是实验科学中最常遇到的一种情况），是无法进行这样的假设的。那么，一般来说，必须记录下球的三维位置(x0,y0,z0)。这一点可以通过在不同角度放置三个摄像机实现（如图4.1所示），假设以200Hz的频率拍摄画面就可以得到球在空间中的运动序列。但是，由于实验的限制，这三台摄像机的角度可能比较任意，并不是正交的。事实上，在真实世界中也并没有所谓的x,y,z轴，每个摄像机记录下的都是一幅二维的图像，有其自己的空间坐标系，球的空间位置是由一组二维坐标记录的：[(xA,yA)(xB,yB)(xC,yC)]。经过实验，系统的摄像机记录了几分钟球的位置序列。怎样从这些数据中得到球是沿着某个x轴运动的规律呢？怎样将实验数据中的冗余变量剔除，化归到这个潜在的x轴上呢？
在真实的实验场景中，数据的噪音是必须面对的因素。在这个实验中噪音可能来自空气、摩擦、摄像机的误差以及非理想化的弹簧等等。噪音使数据变得混乱，掩盖了变量间的真实关系。如何去除噪音是实验者每天都要思考和解决的问题。
上面提出的两个问题就是PCA方法要解决的目标。PCA主成分分析方法是解决此类问题的一个非常有效的工具。下文将结合以上的例子提出解决方法，逐步叙述PCA方法的思想和求解过程。
三、基变换
从线形代数的角度来看，PCA的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间。而新的基要能尽量揭示原有的数据间的关系。在这个例子中，沿着某x轴上的运动是最重要的。这个维度即最重要的“主元”。PCA 的目标就是找到这样的“主元”，最大程度的去除冗余和噪音的干扰。
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1. 标准正交基
为了更有利于推导，将对上述例子的数据作出定义为：在实验过程中，在每一个采样时间点上， 每个摄像机记录一组二维坐标为(x,y)，综合三台摄像机数据，在每一个时间点上得到的位置数据对应于一个六维列向量。
?xA??y??A????xB?X=?? （4.1） ?yB??xC????yC???如果以200Hz的频率拍摄10分钟，将得到10*60*200=120000个这样的向量数据。 ???X抽象一点来说，每一个采样点数据都是在m维向量空间（此例m=6）内的一个向量，
这里的m是涉及到的变量个数。由线形代数知识可以知道，在m维向量空间中的每一个向量
都是一组正交基的线形组合。最普通的一组正交基是标准正交基，实验采样的结果通常可以看作是在标准正交基下表示的。举例来说，上例中每个摄像机记录的数据坐标为(x,y)，这样的基便是[(1,0),(0,1)]。那为什么不取????22??22??,?,??,???或是其他任意的基呢？原因是，这22??22????样的标准正交基反映了数据的采集方式。假设采集数据点是(2,2)，一般并不会记录(22,0)。(在????22??22??，因为一般的观测者都是习惯于取摄像机的屏幕坐标，即向上和向,?,??,???基下）
??22??22??右的方向作为观测的基准。也就是说，标准正交基表现了数据观测的一般方式。
在线形代数中，这组基表示为行列向量线形无关的单位矩阵。
?b1??1?b??0B??2????????????bm??00?0?1?0???I （4.2）
?????0?1?
2. 基变换
从更严格的数学定义上来说，PCA回答的问题是：如何寻找到另一组正交基，它们是标准正交基的线性组合，而且能够最好的表示数据集？
在PCA方法中有一个很关键的假设：线性。这是一个非常好的假设，它使问题得到了很大程度的简化，具体表现为数据被限制在一个向量空间中，能被一组基表示，并且还隐含的假设了数据间的连续性关系。
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这样一来数据就可以被表示为各种基的线性组合。令X表示原数据集。X是一个m*n的矩
???阵，它的每一个列向量都表示一个时间采样点上的数据X，在上面的例子中，m=6,n=120000。Y表示转换以后的新的数据集表示。P是他们之间的线性转换。它们间的转换关系为
有如下定义： pi表示P的行向量。 xi表示X的列向量。 yi表示Y的列向量。
PX?Y （4.3）
上式（3）在线性代数中，它有如下的含义：
P是从X到Y的转换矩阵。几何上来说，P对X进行旋转和拉伸得到Y。P的行向量，
（p1,p2,?,pm）是一组新的基，而Y是原数据X在这组新的基表示下得到的重新表示。 下面是对最后一个含义的说明：
?p1??x?x （4.4）PX??? n????1??pm???p1?x1?Y???????pm?x1?p1?xn??? ? （4.5）pmxn??
注意到Y的列向量：
?p1?xi?? （4.6）yi??? ????pm?xi??可见yi表示的是xi与P中对应列的点积，也就是相当于是在对应向量上的投影。所以，P的行向量事实上就是一组新的基。它对原数据X进行重新表示。
3. 问题
在线性的假设条件下，问题转化为寻找一组变换后的基，也就是P的行向量（p1,p2,?,pm），这些向量就是PCA中所谓的“主元”。问题转化为如下的形式：
怎样才能最好的表示原数据X？ P的基怎样选择才是最好的?
解决问题的关键是如何体现数据的特征。那么，什么是数据的特征，如何体现呢？
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四、方差
“最好的表示”是什么意思呢？下面将给出一个较为直观的解释，但同时会增加一些额外的假设条件。在线性系统中，所谓的“混乱数据”通常包含以下三种成分：噪音，旋转以及冗余。
1. 噪音和旋转
噪音对数据的影响是巨大的，如果不能对噪音进行区分，就不可能抽取到数据中有用的信息。噪音的衡量有多种方式，最常见的定义是信噪比SNR(signal-to-noise ratio)，或是方差比?2：
?2signal （4.7） SNR?2?noise
?2??ni?1(xi?x)n?1 （4.8）
比较大的信噪比表示数据的准确度高，而信噪比低则说明数据中的噪音成分比较多。那么怎样区分什么是信号，什么是噪音呢？这里假设，变换较大的信息被认为是信号，变换较小的则是噪音。事实上，这个假设等价于一个低通的滤波器，是一种标准的除噪准则。而变换的大小则是由方差来描述的。它表示了采样点在平均值两侧的分布，对应于图表 4.2(a)就是采样点云的“胖瘦”。显然的，方差较大，也就是较“宽”较“胖”的分布，表示了采样点的主要分布趋势，是主信号或主要分量；而方差较小的分布则被认 为是噪音或次要分量。
(a) (b)
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图 4.2 (a)摄像机A的采集数据。图中黑色垂直直线表示一组正交基的方向。?2signal是采样点云在长线方
向上分布的的方差，而?2noise是数据点在短线方向上分布的方差。(b)对P的基向量进行旋转使SNR和方差
最大。
假设摄像机A拍摄到的数据如表4.2(a)所示，圆圈代表采样点，因为运动理论上是只存在于一条直线上，所以偏离直线的分布都属于噪音。此时SNR描述的就是采样点云在某对垂直方向上的概率分布的比值。那么，最大限度的揭示原数据的结构和关系，找出潜在的最优的x轴，事实上等价寻找一对空间内的垂直直线（图中黑线表示，也对应于此空间的一组基），使得信噪比尽可能大的方向。容易看出，本例中潜在的x轴就是图上的较长黑线方向。那么怎样寻找这样一组方向呢？直接的想法是对基向量进行旋转。如图表4.2（b）所示，随着这对直线的转动SNR以及方差的变化情况。对应于SNR最大值的一组基p，就是最优的“主元”方向。
2. 冗余
在实验中，经常会出现由于我们先验知识的不足而引入了一些不必要的变量。这样可能会是两种情况：1）该变量对结果没有影响；2）该变量可以用其它变量表示，从而造成数据冗余。
(a) (b) (c)
图4.3可能冗余数据的频谱图表示。r1和r2分别表示两个不同的观测变量。（比如例子中的xA，yB）。最佳
拟合曲线r2=kr1用虚线表示。
如图表 3所示，它揭示了两个观测变量之间的关系。4.3(a)图所示的情况是低冗余的，从统计学上说，这两个观测变量是相互独立的，它们之间的信息没有冗余。而相反的极端情况如4.3（c），r1和r2高度相关，r2完全可以用r1表示。一般来说，这种情况发生可能是因为摄像机A和摄像机B放置的位置太近或是数据被重复记录了，也可能是由于实验设计的不合理所造成的。那么对于观测者而言，这个变量的观测数据就是完全冗余的，应当去除，只用
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