Meyer小波函数?和尺度函数?都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
?3??1/2j?/22?4?(2?)esin(?(??1))????22?33??3?1/2j?/24?8??(?)???(2?)ecos(?(??1))????22?33??02?8???[,]??33 （4-14） 其中，?(a)为构造Meyer小波的辅助函数，且有
???(2?)?1/22?4??????3?1/2?(?)??33???1))?(2?)cos(?(22??4?????03 （4-15）
2?34.2.3 二维小波变换与逆变换
把对一维的表示推广到二维，考虑二维尺度函数是可分离的情况，可有3个二维小波
[9]，则二维尺度函数和小波函数可表示为：
??x,y????x???y?
h???y? （4-16） ?x,y????x?v? ?x,y????x???y?
d???y? （4-17） ?x,y????x?设
?c?k,k??表示一幅离散图像，用低通滤波器h和高通滤波器g分别对cj12j的每一行作滤波，并作隔点抽样，然后再用它们分别对抽样，得到图像低频概貌换(分解算法):
cj的每一列滤波并作隔点
cj?1vddhj?1dj?1dj?1和图像高频细节,,,则有如下小波正变
cj?1?n1,n2???k1?h?2nk21?k1?h?2n2?k2?ck?k1,k2?
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dhj?1?n1,n2???k1?h?2nk2k21?k1?g?2n2?k2?ck?k1,k2??k1?h?2n2?k2?ck?k1,k2?
k1dvj?1?n1,n2???k1?g?2n1
ddj?1?n1,n2????g?2nk21?k1?g?2n2?k2?ck?k1,k2? （4-18）
其小波逆变换(重构算法)如下式:
cj?k1,k2???n1~~??hk?2nh?11?k2?2n2?cj?1k?n1,n2?n1??n1~~?k?2n?dh?n,n?h??k1?2n1?g22j?112~~?k?2n?hg?11?k2?2n2?dvj?1?n1,n2?n1n1??n1
??n1~?k?gn11~?k?2n?dd?n,n??2n1?g22j?112 （4-19）
对于N×N像素的图像，小波变换能分解J层，整数J?logn2 。在每一尺度下
vd纵向和cj包含前一阶段的低频信息，而 dhj、dj 和dj分别包含前一阶段横向、
对角方向的边缘细信息。
h ?2 cj?1 h ?2 g ?2 dhj?1
cj h ?2 dvj?1 g ?2 g ?2 ddj?1
图4.1 二维小波正变换框图
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~cj?1 ?2 h ~ ?2 h ~dhj?1 ?2 g cj
~ h?dv2j?1~ ?2 gddj?1 ?2 ~ g图4.2 二维小波变换逆变换框图
?2表示抽样，为2点取1点的抽样，即只剩下一半样数的分解过程，?2表示插样，即得到的样数为原先样数的两倍。
4.3 人脸图像的小波变换
小波在图像处理上的应用思路主要采用将空间或时间域上的图像信号变换到小波域上，成为多层次的小波系数，根据小波的特性，分析小波系数的特点，针对不同需求，结合常规的图像处理方法提出更符合小波分析的新算法来处理小波系数，再对处理后的小波系数进行反变换，将得到所需的目标图像。
图像输入 小波正变换
图像处理 小波反变换 图像输出 图4.3 小波变换处理图像流程图
小波变换的优点在于具有良好的时间和频率特性，应用范围较广。采用小波分解图像，可降低分解后图像子带的分辨率，大大减少相应的计算复杂度，并可提供更多的空间和频率局部信息。
由于一幅图像的信息主要包含在低频部分，而图像细节体现在高频部分，故
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可通过小波变换得到低频系数，也就是图像的主要信息。在本算法中，采用二维离散小波变换，进行二维小波频域分解,实际是进行两次一维小波变换。经过一级小波变换之后，一幅图像被分解成为如图4.4(a)所示的4个子带。包括低频区域LL,高频区域LH、HL、HH,每个区域都是一幅图像。LL区域表示的是原图像的平滑图像,它包含了原图像的大部分信息,刻画人脸表情和姿态的不变特征; LH区域保持了原图像的垂直边缘细节,体现人脸的轮廓和鼻子的垂直特征;HL区域保持了原图像的水平边缘细节,体现了人脸的眼睛、嘴巴的水平特征;HH区域保持了原图像的对角线细节,受噪声、表情和姿势的影响较大。经过一级小波分解后,每个区域的图像维数都是原图像维数的四分之一。图中子带LL是低频成分，集中了原始图像的大部分信息，LH和HL反映了沿水平和垂直方向的图像变化，HH子带则代表图像的高频成分。还可以运用小波算法继续对LL子带进行分解，图4.4(b)为图4.4(a)的二级小波分解图。
LL LH 1 3 2 4 5 6 7 HL HH （ａ）一级小波分解 （ｂ）二级小波分解
图4.4 二维图像的小波分解
人脸图像的二维小波分解通常使用等价的滤波器组实现.其中,低通滤波器起平滑作用,得到图像的缓变成分;带通滤波器起差分作用,得到图像的高频成分.使用具有紧支集的规范正交小波基可以构造这类滤波器。图4.5、4.6分别是人脸图像的一级分解、二级分解图像
图4.5 一级小波分解图像
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图4.6 二级小波分解图像
本文研究的方法是：首先对原始图像进行进行小波变换与反变换, 小波变换后，图像左上角表现了图像的低频分量，它是构成图像信息及其能量的主要的组成部分。右上角处表现了图像的水平方向的高频分量。左下角表现垂直高频分量。而右下角处表现了图像的对角信息。而且将图像第一次分解后的高频分量除去后，利用其余的系数仍然可以得到完整的重构图像。通过适当的保留或者去除小波变换后的一些特定的分量，达到滤波的目的（高通或者低通）。
图4.7 图像的小波变换与反变换处理
对二层离散小波重构的图像用PCA 方法获取图像的特征矩阵[2], 把训练图像和测试图像投影到该方法所得到的子空间上, 利用Fisher线性判别法完成人脸的识别。其人脸识别流程图如图4.8所示
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输入图像，读入人脸库 利用小波变换处理图像 利用PCA进行降维处理 利用Fisher准则判别 得出识别率
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