钢结构稳定理论与设计（小论文）
征值计算方法。特征值算法是通过特征值分析计算屈曲载荷，该类屈曲分析主要是针对平衡临界状态的求解，其中包括临界载荷和屈曲模态的求解；按特征值分析屈曲、失稳临界载荷是一种简便的稳定性分析方法，可以获得平衡路径的分叉点。
对于受压结构，随着压应力的增加，结构抵抗横向变形力的能力下降。当载荷大到某一水平，结构总体刚度变为零，丧失稳定性。屈曲分析研究失稳发生时的临界载荷和失稳形态。基于结构失稳前系统刚度阵出现奇异，可将失稳问题转化为特征值问题处理。线性屈曲载荷的计算，属于结构小位移材料线弹性的屈曲范畴。对于总体 Lagrange 式的几何非线性的有限元方程可以写为：
KL??KNLu?0 (1)
其中KL是与应变表达式中非线性应变相关的部分，而KNL是与应变表达式中线性应变相关的部分，是由于初始应力引起的，通常称为初应力矩阵。?Ft??t是相关的外力项。另外KL?K0?K?，其中K0为初位移刚度矩阵或大位移刚度阵，
K?为初应力刚度阵或几何刚度阵。
对于特征值稳定问题，载荷可以表示为F???F0。其中F0是载荷模式，?是载荷幅值。求解过程应该首先求解对应于载荷F0的线性平衡问题
K?u?F0 (2)
其中K?是结构的线弹性刚度矩阵。从上式解得u，进而可以得到结构内的应力分布?。结构临界载荷?，可以通过求解关于?的特征值问题得到。 如果认为在结构初始失稳时，初始位移u0仍然很小，则可以在有限元方程中忽略其影响，并且可以忽略大位移刚度阵K0。(1)式变为：
(KL?KNL)u??Ft??t (3)
在总体Lagrange式中，将u??u代入上式，并考虑到结构达到稳定的临界载荷时，可认为?Ft??t为 0，则得到下列方程：
(KL??KNL)u?0（4）
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这就是结构稳定的求解问题。要使（4)有非零解，则需保证
KL??KNLu?0 （5）
上式为一个广义的特征值方程，求解式(5)解得各阶特征值λ ，从而得到相应的其它物理量。
对于大柔度轴心受压杆件理论上采用欧拉临界力计算公式：
?2EIPcr= （6） 2(?l)Pcr为欧拉临界应力，E为材料弹性模量，?为杆件计算长度系数，l为杆件实际长度。
线性特征值屈曲分析省略了非线性项，作为一种线性屈曲分析方法，是对理想弹性结构的理论屈曲强度的预测，满足于经典的解析理论。忽略了各种非线性因素和初始缺陷对屈曲失稳载荷的影响，使屈曲问题大大简化，从而提高了屈曲失稳分析的计算效率。但是，由于材料的缺陷和非线性，往往导致结构在理论弹性屈曲强度之外的点位发生屈曲。因此，线性特征值屈曲分析经常得到的是非保守结果，得到的失稳载荷可能与实际相差较大。通常情况下不能用于实际的工程分析。
（2）非线性屈曲分析
因几何变形引起结构刚度改变的一类问题都属于非线性问题。非线性通常分为大应变、大位移和应力刚化。以上三种大应变导致结构刚度变化的因素，即单元形状改变、单元方向改变和应力刚化效应。此时应变不再假定是“小应变”而是有限应变或“大应变”。
非线性屈曲分析采用几何非线性的荷载一位移全过程跟踪有限元分析。由能量原理可得到修正的拉格朗日(U．L．)形式的非线性增量有限元基本方程：
i[KT]?{?(i?1)}??(i?1)?{P}?{F(i)} (7)
iiii(6)式中，[KT]?[KE]?[KG]?[KL]，]为结构在i状态的切线刚度矩阵，[KTi其中[KE]为结构的线弹性刚度矩阵；[KG]为i次迭代时初应力刚度或称几何刚度i矩阵(轴向力规定以拉力为正)，它考虑了单元内力对结构变形的影响；[KL]为结
构i次迭代时初位移刚度矩阵或称大位移矩阵，它考虑了结构位置变化对平衡的影响(或结构的变形对刚度的影响)。{?(i?1)}为结构在i+1次迭代过程中位移增量
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列阵，?(i?1)为i+1次迭代过程的荷载比例系数；{P}为初始选定不变的节点荷载向量；{F(i)}为i次迭代时各单元内力等效的节点力向量。方程(1)的求解采用把弧长法(Arc．Length Method)和Newton—Raphson法相结合的增量迭代法。荷载增量采用弧长法自动加载。弧长法将荷载比例系数和未知位移同时作为变量，用曲线弧长来控制荷载步长，可使Newton．Raphson法平衡迭代沿一条弧收敛到其平衡路径，以避免矩阵在那些奇异点处变为奇异矩阵，从而避免了结构在加载时某些点可能出现的物理意义上的不稳定(即结构的荷载一位移曲线的斜率为零或负值)，并控制收敛性，帮助稳定数值求解。 4. 基于ANSYS分析
本节选取编号1截面型式进行详细分析，其他编号截面计算步骤相同只给出计算结果。
（1）特征值屈曲分析
选取编号1截面，分析方式为静力分析，并且打开预应力选项，求解。在列杆件屈曲方程时，都假定构件有了一定的侧向变形，预应力效应与此相似。打开预应力效应是把静力分析的结果产生的几何刚度加进去。选择求解方式为Block Lanczos，并且选择提取5阶屈曲模态，并且在载荷步选项卡中设定对 5阶屈曲模态进行扩展，求解。下面几幅图显示了不同模态的结果。
图（4）第一阶屈曲模态 图（5）第二阶屈曲模态
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图（6）第三阶屈曲模态 图（7）第四阶屈曲模态
图（8） 第五阶屈曲模态
线性特征值屈曲分析所产生的多阶模态结果，直观来看，是对于线性屈曲计算产生的不同特征值所绘制的变形图，然而工程实际是不会对同一个结构产生多种屈曲的，当承载使其达到第一阶屈曲的载荷时，就会发生屈曲，因此分析时只提取一阶屈曲系数，作为实际工程中应用。
提取第一阶屈曲系数FQRT1= 677030 （2）非线性屈曲分析
屈曲问题主要分为两类：分叉点屈曲和极值点屈曲。前面提到的特征值屈曲问题，属于分叉点屈曲。ANSYS 模拟特征值屈曲问题时，对于理想压杆的线性特征值屈曲问题，可以很好的模拟；但是，对于非线性特征值问题，ANSYS 并不能给出让人满意的解答。但是，可以用解决极值点屈曲问题的方式，也就是压溃理论，去求解非线性特征值问题。
由于线性特征值屈曲分析仅限于线性问题，忽略了工程实际中确实存在的非线性
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项，所得的结果不够准确，所以在实际工程分析中，更多的是采取非线性屈曲分析的方式，解决结构的稳定性分析问题。下面，将在 ANSYS 中实现对理想轴压杆的非线性屈曲分析，这里将采用静力学结构分析的方式，使用 Newton－Raphson算法和弧长法(Arc．Length Method)对杆结构进行非线性屈曲分析。由于本论文采用Q235钢作为材料，极限应力?P?200?106Pa。
进入求解器，打开大变形选项卡，并且勾选预应力选项，设定迭代子步数为200，求解。得到非线性屈曲系数为552720。最大位移发生在跨中截面处，绘出跨中截面的荷载位移曲线如图。
图（9）跨中截面的荷载位移曲线
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