则vmax?8??0.05?1.26m/s
?同理a??(8?)2?0.05cos(8?t?)m/s2
3故amax?(8?)2?0.05?31.58m/s2 (2)t=2s时的相位为
(?t??)t?2?8??2?(3)由于?2?Ek??3?49?rad 3k,故k?m?2,则 m121mv?m?2A2sin(?t??)221????0.1?(8?)2?0.052sin2(8?t?)?0.079sin2(8?t?)J233EP?121ky?m?2A2cos2(?t??)22
1????0.1?(8?)2?0.052cos2(8?t?)?0.079cos2(8?t?)J23311E?Ek?EP?kA2??m?2?(0.05)2?0.079J
22
11.10 质点的质量m= 2.5×10-3 kg , 其运动方程为y = 0.06 sin (πt – π/2)m
试求: (1 ) 周期T、角频率ω和初位置y0 ;
( 2) 当t = 0时质点所受的力; ( 3) 当t =πs 时的位移、速度和加速 ( 4) 动能的最大值。
(1)圆频率ω=π rad/s，周期T=2π/ω=2s；初位置y0 = 0.06sin(-π/2) = -0.06m。 (2)由加速度a=-ω2 y,得 F=ma=-ω2 my
t=0时的受力 F0???2my0???2?2.5?10?3?(?0.06)?1.48?10?3N （3）t=πs时，位移y=0. 06 sin (π2 – π/2)=0.054m
速度v =dy/dt=0.06πcos(π2 -π/2)=-0.081m/s 加速度a=-ω2 y=-π2×0.054=-0.53m/s
(4) Ekmax?最大动能
6
121?mv?mA2?2cos2(?t?) 22211mA2?2??2.5?10?3?0.062??2?4.44?10?5J 2211.16 试用最简单的方法, 从概念上确定下列两个简谐运动合成后, 各个合振(Ek)max?动的振幅A, 并写出合振动方程。 (1) y 1 = 5 cos（6 t +π/3）cm
y 2 = 5 cos（6 t +7π/3）cm (2) y 1 = 5 cos（6 t +π/3）cm
y 2 = 5 cos（6 t +4π/3）cm (3) y 1 = 4 cos（2 t +π/6）cm
y 2 = 3 cos（2 t -5π/6）cm [分析与解答]
7??)?(6t?)?2? 33说明两旋转矢量位置重合，并满足合成的加强条件，则合振幅A为
（1） 由于 ???(6t?A= A1 + A2 =2 A =10 cm
相应的合振动方程为
y =10 cos（6 t +π/3）cm
4?????，说明两旋转矢量刚好相反，满足合成的减弱（2）同理，???33条件，则合振幅A为 A= A1?A2 =0
合振动方程为 y =0 5??????，两旋转矢量处于相反位置，满足合成的（3）由于 ????66减弱条件，则合振幅A为
A=A1?A2 =0.1 cm
考虑到A1 ＞A2，，合振动的φ与y1 中的φ1相同，则 合振动方程为 y = 0.1 cos（2 t +π/6）cm
第十二章
12.6 已知平面谐波A = 5cm,ν= 100Hz, 波速u = 400m/ s , 沿x 正方向传播, 以位于坐标原点O的质元过平衡位置向正方向运动时为时间起点, 试求: (1) 点O的运动方程; (2) 波动方程;
(3) t = 1s 时, 距原点100cm 处质元的相位 [分析与解答]
7
（1） 要建立O点的运动方程，关键在于找三个特征量。由题设条件可知，圆频
率ω=2πv=200πrad/s.振幅A=5cm;t=0时，坐标原点O处质点过平衡位置，且向正方向运动，则O点的初相位?0 =-π/2（或3π/2）,于是 O点的运动方程为 y0 =5cos(200πt-π/2)cm
(2) 波沿x轴的正方向传播。波线上任一点质元的相位较O点质元落后ωx/u,
则波动方程为y=Acos[ω(t-x/u)+?0]=5cos[200π(t-x/400)-π/2]
=5cos(200π.t-π.x/2-π/2)cm
(3)将t=1s,x=100cm=1m代入波动方程，得
y=5cos(200π-π/2-π/2)=5cos(199π)cm
t=1s时，距原点100cm处质点的相位为199π
3?（若取?0?，则该点相位为201π）
212. 8 一列平面简谐波, 频率ν=500Hz , 波速u=350m/ s。试求: (1) 相位差??=π/3的两点间相距多远?
(2) 在某点, 时间间隔Δt = 10-3 s 的两个振动状态的相位差为多少? [分析与解答]
(1) 由相位差和波程差的关系??=（2π/λ）（x2-x1）
??u? =（π/3）/2π×（350/500）=0.12m 2??(2) 按题设条件可知，周期为 T=1/v=1/500=2×10-3s
则 x2-x1=??λ/2π=
则某点经历 ?t?10?3s =T/2 的两个位移的相位差为??=πrad=1800 或由两个方程求解：
y1=Acos(??t1+?0) y2= Acos(??t2+?0)
??=(??t2+?0)- (??t1+?0)=??t2-??t1=2πvΔt=πrad
12. 12 介质中两相干波源S1 , S2 , 分别位于O 和N , 如图所示。它们的振幅相等, 频率ν1 =ν
2
=100Hz,相位差为π。若ON 相距为30m, 波的传播速度为
u=400m/s , 试求:
(1) ON 连线上因干涉而静止的各点位置; (2) ON 连线外的各点能否静止?
[分析与解答] 题12.12图
8
由题设条件O为波峰时，N恰为波谷，可知两波源的初相位差??=?2-?1π波长
λ=u/v =400/100=4 m
（1）在ON连线之间取任一点P，此点距O点恰距离为r1 =x, 则距N点为 r2=(30–x)。两列波传到P点的相位差为
??=?2 -?1-（2π/λ）（r2- r1）=π-（2π/4）(30–x–x)= -14π+xπ
代入干涉减弱条件 ??=(2k + 1) π (k = 0, 1, ,…) 整理得 x =2k + 15 (k = 0, 1, 2,…
考虑到x的取值范围应在0 ①P在O点左侧时，P 距 O 为 r1=x ,P 距 N 为r2= x + 30,P点的相位差 ??=?2-?1-（2π/λ）（r2- r1）=π-（2π/4）(x+30–x)= -14π=2kπ 由干涉条件知P点恒为加强，无静止点。 ②P点在N点右侧时，有r1 = x,r2 = x–30 ??=?2-?1-（2π/λ）（r2- r1）=16π 也是恒为加强，无静止点。故在ON连线外侧的各点均无静止点。 第十三章 13.4 相位差与光程差有什么关系? 并求解: ( 1) S1 和S2为频率为ν、初相位相同的相干光源，发射两束相干光，在P点相遇, 试求在P214题13.4(1)图(a )和图(b)情况下,它们的光程差和相位差(图中n1 , n2 , n 为介质的折射率)。 题13.4(1)图 [分析与解答] （a）光程差为：??n2r2?n1r1 9 相位差为：???2??r2?2?2??r1?1?2??(n2r2?n1r1) （b）光程差为：相位差：???2???(r2?d?nd)?r1?(r2?r1)?(n?1)d [(r2?r1)?(n?1)d] ?( 2) 一射电望远镜的天线安装在海岸上, 距海平面的高度为h。现有一射 电星发出波长为λ的电磁波,一部分直接射到天线上的P点,另一部分经海面反射后到P点(见图)。试求它们到达P点的光程差和相位差。 题13.4(2)图 题13.4(3)图 [分析与解答] 由图13.2可知，并考虑在海面反射的波有半波损失、则光程差为 ??MP?NP? ?2?hh?h??cos2???(1?cos2?)?sin?sin?2sin?2h???(2sin2?)??2hsin??sin?22 则它们的相位差为 ????? ??( 3) 如图所示, 一束单色光( 波长为λ) 射到A, B两个缝上,并最后到达 ?2???4??hsin?P点。已知AB?d试求它们的光程差和相位差。 [分析与解答] 这是一个斜入射问题。在到达双缝前已有了光程差CA?dsin?。因此，到达P点的总光程差应为 ??BD?CA?dsin??dsin? 于是，相位差为 2???2?????d(sin??sin?) ??( 4) 波长为λ = 500 nm 的单色光从空气中垂直地入射到水泥路上的n=1.38、厚度d = 10-6 m的油膜上，入射光的一部分进入油膜，并在下表面上反射。试问: 10