mM?12?n?ij?k??M?1?j2?*NNrm,n?E?HmH??E??hiehke??k?0?i?0?m?n?j2??i??M?1N 式3-15 ?E?????i?e??i?0?*m???f?i??i????i?ei?0M?1?j2?m?n?iNd?i已知
??1/L,?k??0,L??? f?k??k???? 式3-16
0,其他???????k??Ce??k/?rms 式3-17
f?k??k?为?k的概率密度函数，???k?为功率延时包络，有
rm,n??L?1/???2?j?m?n?/N?1?e?rms 式3-18
?1??L/?1?e?rms???2?j?m?n?/N???rms??rms??当?rms趋向于无穷大时，得到归一化频域内的信道相关特性：
rm,n??L?1/???2?j?m?n?/N?1?e?rms 式3-19
?1??L/?1?e?rms???2?j?m?n?/N???rms??rms??将MMSE作为参考和基于DFT信道估计算法的起点，基于DFT信道估计算法的结构如图3.6：
频域 时域 频域 x0?1 y0 ? Hls,0 xN?1?1 Hls,N?1yN?1傅里叶反变换 gls,0? gls,N?1线性变换 g0? gN?1傅里叶变换 H0 ? HN?1图3.6 DFT信道估计算法框图
将LS算法得到的信道特性H进行傅里叶反变化（IDFT）得到gls，gls?IDFT?H?
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在时域内进行信道估计。实验结果表明，在信道满足整数点采样信道的情况下，在时域内，能量只集中在少数几个采样点上，我们可以利用这种能量集中的特性在时域内进行信道估计，复杂度将大大降低。
得到gls后，进行线性变化得到g?Qgls，再进行离散傅里叶变换（DFT），得到
H?DFT(g)。这种算法利用了时域内能量集中和傅里叶变换的特性来减小复杂度，
而且信道估计性能没有明显的恶化。
时域内的变换式Ｑ可以表示为：
Q?FHRHH?RHH???/SNRI??F 式3-20
其中，F为N维的DFT矩阵：
???1?WN00?????N?1??WN其中WN?N?1??WN0?N?1?????
??WN?N?1??N?1???1/Ne?j2?nkN
可以通过简化Q来降低系统的复杂度。最直接的方法就是忽略gls中SNR较小的参数。只让信噪比较大的参数经过DFT进入频域。这要求系统的定时比较准确，如果同步做的不好，则信道能量分布在整个子载波范围内，再忽略一些参数就不可避免的会引起较大的误差。
3.2.3 基于SVD的信道估计算法
LMMSE估计算法[7]只利用频域内的相关性，所以比普通的基于时频二维的算法的复杂度要低，但算法复杂度仍然很高；基于DFT的算法在信道同步定时不是很理想的时候，会出现采样不匹配的缺陷。为了进一步提高信道估计的性能，一种方法是利用最佳低阶理论简化LMMSE算法，另外一种低阶近似算法是基于DFT，简化LMMSE算法。简化算法是通过奇异值分解来实现的。
信道冲激响应矩阵自相关函数的奇异值分解可以表示为：
RHH?U?UH 式3-21
其中，U为包含奇异向量的酉阵，?为包含奇异值?1??2????N的对角矩阵，最佳低阶估计器的推导如下：
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?H 式3-22 RHH??EHHlslsRH?SVD值可表示为：
?lsHls???H?? 式3-23 ?E?HlsHls?1/2H RHH?RH?H??Q1DQ2 式3-24 lslsls其中，Q1和Q2为酉阵，D为包含奇异值的对角矩阵。故最佳低阶估计器：
?Dp0?H?1/2?? Hp?Q1??Q2RHlsHlsHls 式3-25
?00?其中Dp为矩阵D的P?P阶的左上角矩阵。在块状导频的情况下，有RHH??RHH
ls RH?H??RHH???/SNR?I 式3-26 lsls由推导知道RHH和RH??lsHls有相同的奇异值，RHH?U?UH，于是可以表示为：
????H??U?U?U???I?U?SNR?????Q1DQ2?1/2?1/2
?1/2RH?H?lsls 式3-27
???其中，Q1?Q2?U，D?????I?SNR??P阶的最佳估计器为
Dp??U?H?P?0
??p?U??00?H????H?U?U??I?U????SNR?0????0?H??UHls0??1/2?Hls 式3-28
其中p为?的p?p阶左上角矩阵：
?????????I?SNR??
?1?? 式3-29 ???N?1?diag?,?,?????1???N?SNRSNR??可以将UH看作是一个转换矩阵，矩阵RHH的奇异值?k可以看作信道功率在第k
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个转换系数上的对应分量。由于U为酉阵，所以UH可以看作是Hls的旋转，进而UH的各个分量之间是不相关的。带限信号的维度空间使得有必要降低估计器的阶数，
RHH的奇异值在L?1个值之后变得很小，L为循环前缀的长度。
阶数为p的低阶估计器框图[8]如图3.7所示。首先，接收端Y乘以X?1得到LS估计值Hls，低阶估计器可以看做是LS估计器映射到阶数为p的子空间，进而进行信道估计。如果子空间的维数很小，而且能够很好的描述信道的特性，则可以得到复杂度很低而性能很好的估计器。
?1x0?0 Y0 ? ?1xN?1? ?p?1? ? H0U HU ? 0 ? 0 YN?1? ?HN?1 图3.7 基于SVD的低阶信道估计
同时必须看到，低阶估计器在带来一系列好处的同时，也不可避免的带来了性能上的损失。由于只是在信道的子空间进行信道估计，因此引入估计误差的“地板效应”。在阶数为p时，每个子载波需要2p次乘法运算，与简化的LMMSE估计器相比，运算量从N下降2p。可见，p越小运算的复杂度越小，但同时估计误差越大。不过由以上分析，可以得到以下结论，那就是在阶数p近似等于循环前缀长度的时候可以得到很好的估计器，而在OFDM系统设计时，通常要求循环前缀的长度要远小于OFDM符号总的子载波，所以运算的复杂度可以大大降低。
在进行LMMSE算法[9]时，要预先设定信道的信噪比SNR和信道的相关函数RHH，
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?同时，设定实际系统的信噪比为SNR，信道的相关函数表示为RHH??，信道特性为H，
??X?1W 此外，定义W信道估计误差e可以表示为：
??H?ep?Hp
??p0??H???p0?H? 式3-30
?U?1??UH?U????UW??00???00?1HTraceE?epep? 式3-31 N平均MSE为：
mse?p??进一步简化为：
1p??2?1N2mse?p?????k?1??k???k????k 式3-32
Nk?1?SNR?Nk?p?1其中，?k是第k个转换系数包含的信道功率。
MSE的门限值为：
1Nmse?p????k 式3-33
Nk?p?1如果信道预测做的很好，SNR以及信道不存在失配，则?k??k，信道估计的均方误差MSE可以进一步简化为：
1p??1N22?mse?p?????k?1??k???k????k 式3-34 Nk?1?SNR?Nk?p?1这种方法是基于频域相关性的信道估计方法，它在非整数点采样的信道中性能很好，是相对于基于DFT的信道估计算法的一个改进的地方。但是由于低阶近似不可避免的带来了固有的估计误差，就限制了简化的限度。如果选择合适的阶数，它可以保持良好的性能，复杂度也不是很高。但是，它需要预先知道信道的统计特性和实时的
SNR，所以它在实际应用中受到了限制。
3.2.4 基于滤波器的信道估计算法
（1）Hoeher提出的频域维纳滤波器[10]，由有限长度单位冲激响应滤波器（FIR）组成，缺点是硬件的复杂度很高。
（2）固定抽头滤波器（Fixed tap filter）[11]，利用频域内固定抽头滤波器，可
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