空间向量在立体几何中的应用
1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，
2M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.
111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)
222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),
222?????????11因为CM?SN????0?0,
22所以CM⊥SN
????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),
2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°
【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平面SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A—DE—C的大小.
【解析】：以D为坐标原点 ,射线DA为x轴正半轴,
建立如图所示的直角坐标系D?xyz.
设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (Ⅰ)SC?(0,1,?2),BC?(?1,1,0)
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设平面SBC的法向量为n?(a,b,c) 由n?SC,n?BC得n?SC?0,n?BC?0 故2b?2c?0,?a?b?0 令a?1,则b?1.c?1,n?(1,1,1) 又设SE??EB(??0),则
??2E(??) 1??1??1????2DE?(??),DC?(0,2,0)
1??1??1??设平面CDE的法向量m?(x,y,z) 则m?DE,m?DC,得
m?DE?0,m?DE?0
故
?x?y2z???0,2y?0 1??1??1??令x?2,则m?(2,0,??)
由平面DEC?平面SBC得m?n,m?n?0,2???0,??2 故SE=2EB.
222(Ⅱ)由(Ⅰ)知E(,,),
333111211取DE中点E,则F(,,),FA?(,?,?)
333333故FA?DE?0,由此得FA?DE.
242又EC?(?,,?),故EC?DE?0,
333由此得EC?DE,
向量FA与EC的夹角等于二面角A—DE—C的平面角. 于是cos?FA,EC?1??
2|FA|?|EC|FA?EC所以,二面角A—DE—C的大小为120°.
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【例3】如图,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.
(Ⅰ)证明:PE⊥BC
(Ⅱ)若?APB=?ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
【解析】以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),B(0,1,0)
1m(I)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m?0,n?0), 则 D(0,m,0),E(,,0).
221m可得 PE?(,,?n),BC?(m,?1,0).
22mm因为PE?BC???0?0,
22所以PE?BC. (II)由已知条件可得m??33313,0),E(,?,0),P(0,0,1). ,n?1,故C(?,0,0), D(0.?32633设n?(x,y,z)为平面PEH的法向量,
?13?n?HE?0,y?0,?x??则? 即?2 因此，取n?(1,3,0) 6??z?0.?n?HP?0,?由PA?(1,0,?1) 可得|cosPA,n|?2, 4所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
2. 4【例4】如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD?平面ABCD，SD=2a，AD?2a点E是SD上的点，且DE??a(0???2)
（Ⅰ）求证：对任意的??(0,2]，都有AC?BE （Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为?，直线BE与平面ABCD所成的角为?，若
，求?的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m tan?gtan??1
【解析】（Ⅰ）
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（Ⅱ）
????????????证法2：以D为原点，DA,DC,DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系，则
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，0?a），
?????????AC?(?2a,2a,0),BE?(?2a,?2a,?a)
?????????AC?BE?2a2?2a2?0??a?0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
即AC?BE。 （I） 解法2：
????????????由（I）得EA?(2a,0,??a),EC?(0,2a,??a),BE?(?2a,?2a,?a).
????????，n?EC得 设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由n?EA??????n?EA?0,??2x??z?0,即?取z?2，得n(?,?,2)。 ??????n?EC?0,??2y??z?0,?????????（0，2a,0）易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为DS?(0,0,2a)与DC?.
????????????DC?n?DS?BE?. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?sin?????,cos?????????????22DS?BEDC?n??42??2?0
?tan??tan???????2?sin??cos????2?4??2?2?2??2?2.
由于??(0,2]，解得??2，即为所求。
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【例6】如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
解法一：
证明：（Ⅰ）连接OE，由条件可得SA∥OE． 因为SA?平面BDE，OEì平面BDE，
所以SA∥平面BDE．
（Ⅱ）由已知可得，SB?SD,O是BD中点，所以BD^SO． 又因为四边形ABCD是正方形，所以BD^AC． 因为AC?SO?O，所以BD?面SAC．
又因为BD?面BDE，所以平面BDE?平面SAC． （Ⅲ）解：连接OE，由（Ⅱ）知BD?面SAC． 而OE?面SAC, 所以BD?OE．
又BD?AC．
所以?EOC是二面角E?BD?C的平面角， 即?EOC?45?．
设四棱锥S?ABCD的底面边长为2，
z 在?SAC中，SA?SC?2, AC?22, 所以SO?又因为OC?D O B C S （Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面BDE?平面SAC； （Ⅲ）当二面角E?BD?C的大小为45?时， 试判断点E在SC上的位置，并说明理由．
A D O B E S C E A 2． S 1AC?2, SO?OC, 2所以?SOC是等腰直角三角形．
由?EOC?45?可知，点E是SC的中点． 解法二：（Ⅰ）同解法一
D （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO?面ABCD，AC?BD． 建立如图所示的空间直角坐标系． 设四棱锥S?ABCD的底面边长为2， 则O(0, 0, 0)，S(0, 0, 2)，AO x A B E C ?2, 0, 0?y ， 5