三、参考解答：
先考虑一个圆环。
考虑环的一小部分，并引进该小部分在其中静止的参照系。环以恒定的角加速度?运动，于是，我们引进的参照系不是惯性系，它具有一定的线加速度。此加速度的径向分量可不必考虑，因为环很细，观察不到任何径向效应。加速度的切向分量为r?。在我们所取的参照系中，形成金属晶格的正离子处于静止状态。在此参照系中有惯性力作用在电子上，此力的大小为mr?，方向与上述切向加速度方向相反。
晶格与电子间的相互作用下不允许电子无限制地增加速度。根据欧姆定律，此相互作用随电子相对晶格的速度的增大而增大。某一时刻，惯性力与这种相互作用造成的阻力会达到平稳。结果，正离子与负的电子以不同的速度运动。这就是说，在正离子静止的参照系中将有电流流过。
此惯性力大小是常量，方向在环的每一部分均与环相切，它对电子的作用与一个在每一点上与环相切的虚拟电场相同。
现来求此虚拟电场的大小。显然，此电场的作用力应等于惯性力。由此
eE?mr? （1）
因而
E?mr?e （2）
在电阻为R的环（静止）中，上述电场将产生电流
I?2?rER （3）
于是，在所考察的环中的电流应为
I?2?mr?eR2 （4）
诚然，场是虚拟的电场，但它描述了惯性力对电子的一种真实作用。环中的电流是真实的。
以上想法可用来处理题中所述单位长度有n匝线圈（沿对称轴）的很长螺线管的问题，其中流有电流I。大家知道，在此螺线管中，磁场B的大小均匀（在远离两端处），其值为
B??0nI （5）
式中?0为真空磁导率。由于轴上一点不转动，不论在转动非惯性系中还是在实验室参照系中均静止不动，因而在实验室参照系中，在轴的中心处的磁场为
B?2??0nmr?eR2 （6）
【点评】本题颇有启发性。因为，尽管环是电中性的，但出人意料，由于金属的特殊结构，螺线管中却会出现磁场。因此，英语里的电学名词“电动势（electromotive force）”中会含有力学名词“力（force）”也就变得容易理解了。 评分标准：本题17分．
（1）或（2）式3分，（3）式3分，（4）式4分，（5）式3分，（6）式4分．
四、参考解答：
当??0时，即秋千摆至最低点时，由于小孩在秋千上由蹲姿到立姿的转换时间极短，
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故在由A到B以及由E到F的过程中，相对于秋千上方的悬挂点而言，作用于小孩的合力矩为零，故小孩的角动量守恒。设
m=小孩的质量；
r=小孩的质心至秋千悬挂点的距离； ?=秋千相对于悬挂点的角速度；
2L?mr?=小孩相对于悬挂点的角动量。
当小孩由蹲姿转换到立姿时，即从A到B或由E到F，其质心至悬挂点的距离由rd变至ru，所对应的角速度由?d变至?u，由角动量守恒定律得
mrd?d?mru?u （1）
22?u?(rdru2)?d （2）
亦即当秋千在最低点时，小孩每一次由蹲姿站起来摆荡时，角速率增加(rdru2)倍。
当秋千从B摆至C的过程中，机械能守恒，故小孩的重力势能的增加量等于动能的减少量，即
mgru(1?cos?)?1222mru?u （3）
当秋千摆至C时，小孩由站姿转换为蹲姿，因此其质心至悬挂点的距离，由ru变长为rd，即质心的位置从C变至D，因此质心的重力势能已改变。当秋千从D摆至E时，设其角速率为?d'，则同理利用机械能守恒定律，可得
mgrd(1?cos?)?122'mrd?d （4）
2由（3）、（4）两式可得
?d?'2rurd2?u （5）
将（2）式代入（5）式，可得
?d?'2rurd?(rdru342)?d
?'d?(rdru)2?d （6）
即秋千每摆荡半圈时，其角速率增加(rdru3)2倍；因此每摆荡一圈，则角速率增加(rdru3)倍。
秋千摆荡的角幅和其在最低点的角速率成正比。若秋千摆荡n圈后，角幅增为起始时的两倍，则
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2?(rdru13n)3n?(210)3n?210
n?103 （7）
评分标准：本题20分．
（1）或（2）式4分，（3）、（4）式均3分，（5）式3分，（6）式4分，（7）式3分．
五、参考解答：
1．考察自P发出的任一光线PA，设其与主轴夹角为?，如图所示。设光线在球面上入射角为i，折射角为r，由折射定律
sinisinr?1n （1）
在△PCA中应用正弦定理，有
siniRn?sinrR （2）
比较（1）、（2）两式，在?为锐角的情况下（r必为锐角），有
??r （3） 而r=∠QAC，Q为折射光的反向延长线与主轴交点，于是△QAC∽△APC，及
QCR?RRnQC?nR （4）
，即
与?角无关，得证。
2．两透镜的几何位形如图所示。
设C1为接透镜（L1）的球心，从（物）S发出的光经L1折射后成像于S’。由上小题可知S'C1?n1R1，则
S'O1?n1R1?R1?(n1?1)R。应使
S’发出的光无折射地进入第二个透镜（L2）的前球面，故S’为前球面中心，且前球面半径
R2?S'O2?S'O1?d1?(n1?1)R1?d1?9.5mm （5）
为使S’位于L2的齐明点，又使L2的中央厚度为d2，应有
S'O3?R3?R3n2 （6）
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S'O3?R2?d2?(n1?1)R1?d1?d2 （7）
由（6）、（7）两式可解得后球面半径
R3?(n1?1)R1?d1?d21?1n2?6.77mm （8）
图中S''为S’经L2后所成的像[S''O3?(n2?1)R3]，C3为后球面的球心。
S发出的光的孔径角?满足
tan??R1R1n1?n1 （9）
S经L1所成像S’的孔径角设为?1，则
tan?1?R1n1R1?1n1 （10）
?1又是L2的物点的孔径角，?1则为最后的像S''的孔径角。由图不难看出，
tan??S'Asin?1S'Acos?1?S''S'?R2sin?1R2cos?1?S''S'（忽略透镜边缘厚度） （11）
而
S''S'?n2R3?1n2R3 （12）
???arctanR2sin?1R2cos?1?(n2?1n22?20.0 （13） )R30?k?k1?k2?n1R1R1n1?n2R2R2n2?n1?n2?5.76 （14）
2【点评】本题是齐明点概念在显微镜物镜中的应用，这种物镜称为油浸物镜，是显微镜物镜的主要形式之一。
评分标准：本题20分．
第1小问6分．（1）式1分，（2）式2分，（3）式1分，（4）式2分．
第2小问14分．作图3分，（5）式2分，（8）式3分，（11）式2分，（13）式2分，（14）式2分．
六、参考解答：
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假定地球和木星的轨道均为圆形，则向心力=太阳的引力，有
GMEMSRGM2E?MvEE2REvJ2 （1）
JM2SRJ?MJRJ （2）
其中G为引力常量，MS为太阳质量，ME为地球质量，MJ为木星质量，RE为地球轨道半径，RJ为木星轨道半径，vE为地球公转速度，vJ为木星公转速度。因而
RJ2R?(vE Ev) J已知
T2?EE???2?R EvET2?2?RJJ???v JJ（4）、（5）两式相比，得
RET3ET?vE?(RE JRJR)2JvJ由此得
2RJJ?RE(TT)3?779.8?106km E相对角速度
???E??J?0.0158rad/day 相对速度
v??RE?27.3km/s 木星与地球距离可表示为
d(t)?RJ?RE d(t)?R22J?RE?2RERJcos?t
?RR1EJ[1?2Rcos?t??]2
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10）
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