线性代数综合复习题（一）
一、填空题：(3??8)
?1?11?1???12?1?1?， 则r(A)? 。 1.设A????1?311???10?31???1 2.设A 为3阶方阵，且A?3，则（A*）= （用A 表示）。
?11?1????1?11?2???3.若X?02?110??, 则X = 。
??1?10?????aa1??? 4.设A??a1a?，则当a满足条件 时，A 可逆；当a= 时，r(A)?2。
?1aa??? 5.秩相等是两个同维向量组等价的 条件。
6.设4阶方阵A 的4个特征值为3，1，1，2，则A? 。
?x1?2x2?3x3?x4?0? 7.齐次方程组?2x1?x2?x3?3x4?0的基础解系是 。
?x1?x3?x4?0? 8.设二次型f(x1,x2)?2x1?2x2?4kx1x2为正定二次型，则k的取值范围为 。
22二、选择题：?4??5?
1.设n 阶方阵A 是奇异阵，则A 中 。
（A）必有一列元素为0 ； （B）必有两列元素对应成比例； （C）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D）任意一列向量是其余列向量的线性组合。 2.设A 和B都是n 阶可逆阵，若C???A??0B??1?C，则= 。 ?0??B?1A?1?? （D）??00???0?? ?1?A??A?1 （A）??0?
?00????1 （B）?1??AB???0B?1?? （C）??1?B0???*3.若n 阶矩阵A 的秩为n-3（n?4），则A 的伴随矩阵A的秩为 。
（A）n-2 （B）0 （C）1 （D）不确定
4.设?0是非齐次方程组AX?b的一个解，?1,?2,?,?r 是 AX?0的基础解系，则 。 (A)
?0,?1,?,?r线性相关。
（B）?0,?1,?,?r线性无关。
（C）?0,?1,?,?r的线性组合是AX?b的解。 （D）?0,?1,?,?r的线性组合是AX?0的解。 5. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。 （A） 矩阵A 有n 个特征值。 （B）矩阵A的行列式A?0。
（C）矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。 （D）矩阵A的秩为n 。
三、设A 和B 都是3阶方阵，I为单位阵，AB?I?A2?B
?101其中A????020??， 求B。 ?6??
???101??
?x1?x2?x3??1四、设线性方程组??2x1?kx2?2x3?0 ??kx1?2x2?x3?k?10??
（1）k为何值时，方程组有唯一解、无解；
（2）k为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。
五、设向量?1,?2,?,?r的线性无关，非零向量?与?1,?2,?,?r都正交，证明：?与
?1,?2,?,?r线性无关。 (8?)
?5??2六、设 A??0??0?
210000??00??1A，求。 (6?) ?1?2?11???210???七、设A??120?，（1）求A的特征值；（2）求其特征值所对应的特征向量。?10??
?002???
八、化下列二次型为标准形。 ?10??
222 f?2x1?3x2?3x3?4x2x3
九、证明：实对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵P ，使得A?PP。?6??
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