7.备课资料（3.2 奇偶性）(2)

??4,x??2,?解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=?2x,?2?x?2,-4,2x,4, x≤-2,-2

?4,x?2.?x≥2.其图象如图1-2所示:

图1-2

由图象,得函数的最小值是-4，最大值是4.

方法二（数形结合）:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±2的对应点A、B的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示，

图1-3

观察数轴,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4. 点评：求函数最值的方法： 图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.其步骤是①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.

数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值. 例3求函数y=x+

4,x∈［1,3］的最大值和最小值. x4是减函数， x分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性. 解：可以证明当x∈［1,2］时，函数y=x+

此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4. 可以证明当x∈［2,3］时，函数y=x+此时函数的最大值是f(3)=综上所得，函数y=x+

4是增函数， x13，最小值是f(2)=4. 34,x∈［1,3］的最大值为5，最小值为4. x点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b］上是减函数，在区间［b,c］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b］上是增函数，在区间［b,c］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.

例4求函数y=x4+2x2-2的最小值.

解：函数的定义域是R，设x2=t，则t≥0. 则y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0， 则当t=0时，y取最小值-2，

所以函数y=x4+2x2-2的最小值为-2.

点评：求形如函数y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+bx?c(ab≠0)的最值时，常用设xm=t或

bx?c=t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为

换元法.此时要注意换元后函数的定义域.

例52007江西金太阳全国第二次大联考，理22定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(

x?y

). 1?xy

(1) 求证：函数f(x)是奇函数；

(2) 若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数. 分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；（2）定义法证明，其中判定

x2?x1的范围是关键.

1?x1x2解： (1)函数f(x)的定义域是(-1，1)， 由f(x)+f(y)=f(

0?0x?y

)，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.

1?01?xy

令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(

x?x)=f(0)=0, 21?x∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0

x1?x2x?x1)＝f(?2).

1?x1x21?x1x2x2?x1>0.

1?x1x2∵00,1-x1x2>0，∴又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0， ∴0＜x2-x1<1-x1x2. ∴-1

1?x1x21?x1x2∴f(x1)＞f(x2).

∴f(x)在(0，1)上为减函数， 又f(x)为奇函数，

∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.

点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义

法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性， 知能训练

1.2006陕西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于( )

A.{1,2,3} B.{2,3} C.{1,2} D.{2} 分析：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q={-3,2},则P∩Q＝{2}. 答案：D

点评：解决本题关键是集合P是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.

2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则等于( )

A.? B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8} 分析：直接观察（或画出Venn图）得S∪T={1,3,5,6}，则

(S∪T)＝{2,4,7,8}.

(S∪T)

答案：B

点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn图写出运算结果.

3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x. （1）求f（x）；

（2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值. 分析：（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（x）；（2）结合二次函数的图象，写出最值. 解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c， 由f（0）＝1，可知c＝1.

而f（x＋1）-f（x）＝［a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c］-（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b. 由f（x＋1）-f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝-1. 故f（x）＝x2-x＋1. （2）∵f(x)=x2-x+1=(x-

123)+， 2413)=，f（x）的最大值是f（-1）＝3. 24∴当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值是f(

拓展提升

问题：某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH. (1) 求证：四边形EFGH是正方形；

(2) E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

图1-4图1-5

思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x，每块地砖的费用为W，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.

解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF，∠ECF=90°,

∴△CFE为等腰直角三角形，

同理可得△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形. ∴ 四边形EFGH是正方形.

(2)设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)， W=

12111x·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-x2-×0.4×(0.4-x)］a 2222=a(x2-0.2x+0.24)

=a［(x-0.1)2+0.23］(0

由于a>0，则当x=0.1时，W有最小值，即总费用为最省. 即当CE=CF=0.1米时，总费用最省. 课堂小结

本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法. 作业

复习参考题任选两题.

设计感想

本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.