§1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 (3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________． 2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________． 3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数． 1 4．函数y＝的单调递减区间为__________________． x 一、选择题 1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题： ①f(0)＝1； ②f(－1)＝1； ③若x>0，则f(x)<0； ④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( ) A．②③ B．①④ C．②④ D．①③ 2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1 5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( ) f?x1?－f?x2?A.>0 x1－x2 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a) x1－x2D.>0 f?x1?－f?x2? 6．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为( ) A．(－∞，－3] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－3，－1] 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________． 8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________. 三、解答题 9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a 11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明． 能力提升 12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0 (1)试求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性并证明你的结论． 13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5. (1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m－2)≤3. 1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域． 12．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0， x1＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数． x3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性． 4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤： 即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤． 若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”． §1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 知识梳理 1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞) 作业设计 1．B 2．A [由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．] 3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0， ∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0， ②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0， 由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．] 4．C [如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．] 5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1 6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．] 7．m>0 解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0. 8．－3 m2m2 解析 f(x)＝2(x－)＋3－， 48 m 由题意＝2，∴m＝8. 4 ∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 9．解 y＝－x2＋2|x|＋3 22???－x＋2x＋3 ?x≥0??－?x－1?＋4 ?x≥0?＝?2＝?. 2 ??－x－2x＋3 ?x<0?－?x＋1?＋4 ?x<0???函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 10．证明 设a ∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1) 且a ∴f(g(x))在(a，b)上是增函数． 11．解 函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下： 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 2则f(x2)－f(x1)＝x2－1－x21－1 22x2－x1?x2－x1??x2＋x1? ＝2＝. 22x2－1＋x2－1x－1＋x－1121∵1≤x1 2∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x1－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中， 令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)． 因为f(1)≠0，所以f(0)＝1. (2)函数f(x)在R上单调递减． 任取x1，x2∈R，且设x1 则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)， 由于x2－x1>0，所以0 1 当x>0时，0 f?x? 又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0， 即f(x2) (2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)． ∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数， ?m－2≥2?∴?，解得m≥4. ??m－2>0 ∴不等式的解集为{m|m≥4}．