直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：x2、弦长公式：若点则
?x1?x2y?y,y?1222，其中x,y是点
A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。
A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或者
111AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2kkk12)[(y?y)?4y1y2]。 122ky?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1
???0
?(1?3、两条直线l1:v2两条直线垂直，则直线所在的向量v1?4、韦达定理：若一元二次方程ax常见的一些题型：
2bc?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则x1?x2??,x1x2?。
aa题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
x2y2??1始终有交点，求m的取值范围 例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:4mx2y2（0，?m),且m?4，如果直线??1过动点解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:4mx2y2?1始终有交点，则m?1，且m?4，即1?m且m?4。 l:y?kx?1和椭圆C:?4m规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
l:y?kx?1?过定点（01，） l:y?k(x?1)?过定点（?1，0） l:y?2?k(x?1)?过定点（?1，2）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y求出x0；若不存在，请说明理由。
2?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，若存在，
1
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。
?y?k(x?1)由?2消y整理，得
y?x?k2x2?(2k2?1)x?k2?0 ①
由直线和抛物线交于两点，得
??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0
即0?k2?1 ② 42k2?1由韦达定理，得：x1?x2??,x1x2?1。
k22k2?11,)。 则线段AB的中点为(?22k2k线段的垂直平分线方程为：
111?2k2y???(x?)
2kk2k2令y=0,得x0?1111，则?E(?,0)
2k222k22??ABE为正三角形，
?E(311AB到直线AB的距离d为?,0)22k22
。
?AB?(x1?x2)2?(y1?y2)21?4k22??1?kk21?k2d?2k
31?4k21?k22??1?k?2k22k解得k ??39满足②式 13此时x0?5。 3题型三：动弦过定点的问题
x2y23例题3、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为2ab
，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 2
（I）求椭圆的方程； （II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN
是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I）由已知椭圆C的离心率e?c3，a?2,则得c?3,b?1。 ?a2x2从而椭圆的方程为?y2?1
4?y?k1(x?2)（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由?2消2x?4y?4?(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0
y整理得
??2和x1是方程的两个根， 16k12?4??2x1? 21?4k12?8k12则x1?1?4k12，
y1?4k11?4k12，
2?8k124k1,)， 即点M的坐标为(1?4k121?4k1228k2?2?4k2,) 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(221?4k21?4k2?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
?k1?k22??，
k1?k2ty?y1y2?y1?x?x1x2?x1，
?直线MN的方程为：
?令y=0，得x?又?tx2y1?x1y2y1?y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?4 t?2，?0?4?2 t?椭圆的焦点为(3,0)
434 ??3，即t?3t3
故当t
?43时，MN过椭圆的焦点。 3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
x2y2例题4、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中
ab????????????????心O，且AC?BC?0，BC?2AC，如图。
(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；
(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x?3对称，求直线PQ的斜率。
????????解：(I) ?BC?2AC?????????OC?AC
，且BC过椭圆的中心O
?????????AC?BC?0
??ACO?又?A (2?2
3,0)
?点C的坐标为(3,3)。 ?A(23,0)是椭圆的右顶点，
?a?23，则椭圆方程为：
x2y2?2?1 12b将点C(3,3)代入方程，得b2?4，
x2y2?1 ?椭圆E的方程为?124(II)? 直线PC与直线QC关于直线x?3对称，
?设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为?k，从而直线PC的方程为：
4
y?3?k(x?3)，即 y?kx?3(1?k)，
由???y?kx?3(1?k)消y，整理得：
22??x?3y?12?0(1?3k2)x2?63k(1?k)x?9k2?18k?3?0?x?3是方程的一个根，
9k2?18k?3 ?xP?3?21?3k9k2?18k?3即xP?
23(1?3k)同理可得：
9k2?18k?3xQ?
3(1?3k2)?yP?yQ?kxP?3(1?k)?kxQ?3(1?k)＝k(xP?xQ)?23k
＝
?12k 23(1?3k)9k2?18k?39k2?18k?3xP?xQ??
223(1?3k)3(1?3k)＝
?36k
3(1?3k2)yP?yQxP?xQ?1 3?kPQ?则直线PQ的斜率为定值题型五：共线向量问题
1。 3uuuruuurx2y2??1于P、Q两点，且DP=lDQ,求实数l例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：94解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),
的取值范围。
uuuruuurDP=lDQ Q\\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)
ìx1=lx2??即í ?y=3+l(y-3)2???1方法一：方程组消元法
x2y2又QP、Q是椭圆+=1上的点
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