第三章部分题目答案
3-19 若压电式力传感器灵敏度为90 pC/MPa，电荷放大器的灵敏度为0.05V/pC，若压力变化25MPa，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50mm，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？
解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联后的总灵敏度为：S?S1?S2?S3??y=50mm，则S3??y，其中S1=90 pC/MPa，S2＝0.05V/pC ，?x=25MPa，?x?y50mm4mmmm ???0.4444?x?S1?S225MPa?90pC/MPa?0.05V/pC9VV3-20 图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。
图4.24 习题3-20图
解：第一个框图为一阶系统，由于敏度为3;
第二个框图的灵敏度为7.3;
66/23K3，而，所以其灵???15s?215/2s?17.5s?1?s?17.5s?122K?n3.3?n?2第三个框图为二阶系统，由于2，所以其灵敏度为3.3； 22s?2??ns??ns?2??ns??n系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。
2100?n1.53-21 由传递函数为H1(s)?和H2(s)?2的两个环节，串联组成一个测2s?1.4?ns??n3.5s?0.5试系统，问此系统的总灵敏度是多少？
解：显然，H1(s)和H2(s)和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式的形式，则
K1.53 K=3 H1(s)????s?13.5s?0.57s?1K?n2100?n2100?n2H2(s)?2?? K=100
s?2??ns??n2s2?1.4?ns??n2s2?2?0.7?ns??n2而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.
3-22 用时间常数为2s的一阶装置测周期为2s、4s的正弦信号，试求周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s装置的几倍？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s时，
A(?1)?11?(??1)2?12?21?(?)T1?12?1?(2?)22?0.1572
6
?(?1)??arctan(?正弦信号周期为4s时，
2?2?)??arctan(2?)??80.97o T12A(?2)?11?(??2)2?11?(?2?2)T2?11?(2?2?2)4?0.3033
2?2?)??arctan(2?)??72.32o T24A(?2)?(?2)?72.32由于?2，??0.8936，则周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后
A(?1)?(?2)?80.97?(?2)??arctan(?量分别是2s装置的2和0.8936倍。
3-23用时间常数为2s的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s作正弦规律变化，且温度在500～1000℃范围内变化，试求该装置所指示的最大值和最小值各是多少？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，输入信号的周期为160s，最大幅值1000，最小幅值500
，
则
该
装
置
所
指
示
的
最
大
值
为
：
1000?A(?1)?该
装
10001?(??1)2置
所
?10001000??996.93 2?22?21?(?)1?(2?)T160指
示
的
最
小
值
为
：
500?A(?1)?5001?(??1)2?500500??498.465 2?22?21?(?)1?(2?)T160
3-24 设用时间常数为0.2s的一阶装置测量正弦信号：x(t)=sin4t+0.4sin40t (K=1)，试求其输出信号。
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.2，输入信号x(t)为正弦信号x1(t)=sin4t和x2(t)=0.4sin40t的叠加。
对x1(t)：角频率ω1=4，幅值A1=1，初相位φ1=0；则
11A(?1)???0.78
221?(??1)1?(0.2?4)?(?1)??arctan(??1)??arctan(0.2?4)??38.66o
其输出信号的幅值为： A(ω1)*A1=0.78*1=0.78 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-38.66o 其输出信号为：y1(t)=0.78sin(4t-38.66o) 对x2(t)：角频率ω2=40，幅值A2=0.4；则
A(?2)?11?(??2)2?11?(0.2?40)2?0.124
?(?2)??arctan(??2)??arctan(0.2?40)??82.875o
其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.124*0.4=0.05 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-82.875o 其输出信号为：y2(t)=0.496sin(4t-82.875o)
所以，x(t)为输入信号时，输出信号为： y(t)= y1(t)+ y2(t)= 0.78sin(4t-38.66o)+0.05sin(4t-82.875o)
7
3-25 用一阶系统对100Hz正弦信号进行测量，如果要求振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？如用具有该时间常数的同一系统作50Hz正弦信号的测试，问此时的振幅误差和相位差是多少？
1．解：(1) 因为??1?A(?)，故当|?|≤5%?0.05时，即要求1?A(?)≤0.05，所以1?1≤0.05。化简得(??)2≤?1?0.108，则 220.95(??)?111?1.08??5.23?10?4s（2分） 2?f2??100s1?≤1.08?(2) 当作50Hz信号测试时，有（4分）
111??1??1??1??1?0.9868?1.32%(??)2?1(2?f?)2?1(2??50?5.23?10?4)2?1
??arcta?n?(??)
arc?tfa?n?(2?11?0.01?2)a?rc?t?an(?2?4?50o?2? 10)5.?3??919503-26 已知某线性装置A(?)?，?(?)??arctan0.1?，现测得该系统稳态输出
y(t)=10sin(30t-45°)，试求系统的输入信号x(t)。
解：根据频率保持特性：输入信号的频率ω=30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为：
1A(?)??0.3162 ?(?)??arctan(0.1?30)??71.56o5 21?0.01?30则输入信号的幅值和相位分别为：
A=10/ A(ω)=10/0.3162=31.6256 φ1=φ2-φ(ω)=-45o+71.565o=26.5651o
则输入信号为：x(t)=31.6256sin(30t+26.5651o)
3-27 将温度计从20℃的空气中突然插入100℃的水中，若温度计的时间常数τ=2.5s，则2s后的温度计指示值是多少？
3-28 某测量装置的频率响应函数为H(j?)?1，试问：1)该系统是什么系统? 2)
1?0.05j?若输入周期信号x(t)?2cos10t?0.8cos(100t?30)，试求其稳态响应y(t)。
答: 1)一阶系统， 2) 一阶系统:A(?)?11?(??)2 ?(?)??arctan(??) 111?(0.05*10)2当?=10时，A(?)?A(10)?1?(??)2??0.8944
?(?)??(10)??arctan(??)??arctan(10*0.05)??26.57o
当?=100时，A(?)?A(100)?11?(??)2?11?(0.05*100)2?0.1961
?(?)??(100)??arctan(??)??arctan(100*0.05)??78.69o
所以，
y(t)?2A(10)cos(10t??(10))?0.8A(100)cos(10t?300??(100))?1.78cos(10t?26.56)?0.156cos(10t?108.69)00
3-29 用时间常数为0.5的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示值的幅值误差小于2%，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s和5s，问幅值误差是多少？
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解：由题意可知：τ=0.5s, δ=|1-A(2?f)|×100％=(1-A(2?f))×100％<2% 则
11??0.02,即f<0.0646Hz 21?(0.5?2?f)被测参数的周期是2s时，f=1/2=0.5Hz, δ=(1-A(2?f))×100％=(1-A(2×?×0.5))×100％=46.3% 被测参数的周期是5s时，f=1/5=0.2Hz, δ=(1-A(2?f))×100％=(1-A(2×?×0.2))×100％=15.3%
13-30 已知某测试系统传递函数H?s??，当输入信号分别为x1?sin?t，x2?sin4?t时，
1?0.5s试分别求系统稳态输出，并比较它们幅值变化和相位变化。
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.5，当输入信号x(t)为正弦信号x1(t)=sin?t时，信号的角频率ω1=?，幅值A1=1，初相位φ1=0；则
A(?1)?11?(??1)2?11?(0.5??)2?0.537
?(?1)??arctan(??1)??arctan(0.5??)??57.52o
其输出信号的幅值为： A(ω1)*A1=0.537*1=0.537 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-57.52o；其输出信号为：y1(t)=0.537sin(?t-57.52o) 当输入信号为x2(t)= sin4?t时，其角频率ω2=4?，幅值A2=1，初相位φ1=0；则
A(?2)?11?(??2)2?11?(0.5?4?)2?0.1572
?(?2)??arctan(??2)??arctan(0.5?4??)??80.96o
其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.1572*1=0.1572 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-80.96o 其输出信号为：y2(t)=0.1572sin(4?t-80.96o)
可以看出，对于信号x1?sin?t，其幅值由1变为0.537,相位由0 o变为-57.52o；对于信号x2?sin4?t，其幅值由1变为0.1572,相位由0 o变为-80.96o；信号x2?sin4?t的幅值和相位变
化大于信号x1?sin?t的幅值和相位的变化。
3-31 对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量M的数值为1.5，同时测得其周期为6.28s。设已知装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。
答: 由于静态增益为3，则Mmax?M/3?1.5/3?0.5 则 ??1??????1lnMmax??2?1??????1ln0.5??2?0.2155
从而，?n??d1??2?2?Td1??2?2?6.281?0.21552?1.02
1.022于是，H(s)?2 2s?2?0.215?1.02s?1.02当???n时，A(?n)?1???2???[1???]?4?2????nn????22?14?2?11??2.32 2?2?0.2155 9
???2????n?2??? ?(?n)??arctan??arctan??21?12???1????n??
3-32一种力传感器可作为二阶系统处理。已知传感器的固有频率为800 Hz，阻尼比为0.14，
问使用该传感器作频率为500Hz和1000Hz正弦变化的外力测试时，其振幅和相位角各为多少? 答: f=500Hz时， A(f)?A(500)?1?f??f?[1???]2?(2????fn??fn?22?1?500?22?500?[1???]?(2?)???800??800?22?1.5625
?f??500?2???2???fn?800????(f)??(500)??arctan??arctan?-16.023o 22?f??500?1??1????800??f?n?f=1000Hz时， A(f)?A(1000)?1?f??f?[1???]2?(2????fn??fn?22?1?1000?22?1000?[1??]?(2?)????800??800?22?1.4599
?f??1000?2???2???fn?800????(f)??(1000)??arctan??arctan?31.8908 22?f??1000?1??1????800??f?n?
第五章部分题目答案
5-21 已知直流电桥Rl=9725?，R2=8820?，R3=8550?，R4=9875?，若激励电压Ui=24V，
试求输出电压Uo，若R4可调，试求电桥平衡时的R4值。
R1R3?R2R4Ui??0.2774(V) 答： Uo?(R1?R2)(R3?R4)R4=R1*R3/R2=9427.3Ω。
5-22选用电阻值R=100?，灵敏度S=2.5的电阻应变片与阻值R=100?的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V，当应变片应变为1000μ?时，若要使输出电压大于10mV，则可采用何种接桥方式？计算输出电压值(设输出阻抗为无穷大)，并画出接线图。 解： dR/R??R/R?SUo?K而，
??2.5?1000?10?6?2.5?10?3
?RUi?K?2.5?10?3?Ui?K?2.5?10?3?10?K?25(mV)，要使Uo大于10mV，R0则要求K>0.4。当为半桥单臂时，K=1/4=0.25；当为半桥双臂时，K=1/2=0.5；当为全桥时，K=1。因此应采用半桥双臂或全桥的接桥方式。
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