而 ?2??x2??2?x2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??k2sin(kx)sin(ly)e?hz ?2??y2??2?y2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??l2sin(kx)sin(ly)e?hz ?2???22?z2?z2[sin(kx)sin(ly)e?hz]?hsin(kx)sin(ly)e?hz 故 ?2??(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0 （2）在圆柱坐标系中 ?2??1?r?r(r???r)??2??2?r2??2??z2 而 1?r?r(r???r)?1?r?r{r??rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] 1?2?r2??2??n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)]} ?2??z2??2?n?z2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 故 ?2??0 （3） 1?(r??)?1?{r??r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2r?r?rr?rcos(n?) 1?2?r2??2??n2r?n?2cos(n?) ?2??z2??2?n?z2[rcos(n?)]?0 故 ?2??0 （4）在球坐标系中 ?2??1?2??1???1?2r?r(r?r)??2r2sin???(sin???)?r2sin2???2 而 1?r2?r(r2???r)?1??2r2?r[r2?r(rcos?)]?rcos? 1?r2sin???(sin?????)?1?r2sin???[sin????(rcos?)]? 1?r2sin???(?rsin2?)??2cos? 1?2?2rr2sin2???2?1?r2sin2???2(rcos?)?0 故 ?2??0 （5） 1?r2?r(r2???r)?1?r?rr2??r(r?2cos?)]?22[r2cos? 1?r2sin???(sin?????)?1?r2sin???[sin???2??(rcos?)]?
1?r2sin?(?r?2sin2?)??24cos? 1?2?1?2??r?r2sin2???2?r2sin2???2(r2cos?)?0 故 ?2??0 3.14 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）e?ycoshx； （2）e?ycosx； （3）e?2ycosxsinx （4）sinxsinysinz。 解 （1）?22?y?x???y?2?y2(ecoshx)?y2(ecoshx)??z2(ecoshx)?2e?ycoshx?0 所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解； （2） ?22?x(e?ycosx)???y?2?y?y2(ecosx)??z2(ecosx)??e?ycosx?e?y2cosx?0 所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解； ?222（3） ?2y??x2(ecosxsinx)??2y??2y?y2(ecosxsinx)??z2(ecosxsinx)? ?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0 所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解； （4） ?2?x2sinxsiynszi?n?2?2(?y)2(xsinysinz??szi2n)x(syin?z sinsin)?3sinxsinysinz?0 所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。 3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P0(exx?eyy?ezz)。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 解 （1） ?P????P??3P0 ?LP(x?2)?n?Px?L2?eLx?Px?L2?2P0 ?LP(x??2)?n?Px??L2??ex?Px??L2?L2P0 同理 ?LLLLLP(y?2)??P(y??2)??P(z?2)??P(z??2)?2P0 （2） qP???Pd???PdS??3PL3?6L2?LP0?0 ???0S23.16 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心点的电位为 2?r?1?2?()R20 r3?0解 由
??D?dS?q，可得到
S
4?r3r?R0时， 4?rD1??
3D?r?r2即 D1?3， E1?1?? r?03?r?0r?R时， 4?rD4?R30202?3? 即 D?R302?3r2 ， ED2????R310 03?0r2故中心点的电位为 R0?R0??(0)??E?r?R30221dr?0R?E2dr??dr??dr??R0??R0?2?r?1(?)2 003?R0r26?Rr?03?00r?03?02?r3?03.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。 解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p????P??1dr2dr(r2Kr)??Kr2 在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?n?Pr?R?eKr?Pr?R?R （2）由于D???0E?P，所以 ??D??00??E???P????D???P 即 (1??0?)??D???P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 ????D????????P??????p??K00(???)0r2 总的自由电荷量 q???d???KR14?r2dr4??RK????0?0r2???? 0（3）介质球内、外的电场强度分别为 EP1?????eKr (r?R) 0(???0)rEq?RK2?er4???er? (r?R) 0r20(???0)r2介质球内、外的电位分别为 ?R??1??E?dl??E1dr??E2dr? rrRR??Kr(???0)rdr???RKR?0(???2dr? 0)rK(???lnR??K? (r?R) 0)r0(???0)????RK2??E2dr?2dr??RKr?r?0(???0)r?0(??? (r?R) 0)r3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导
出束缚电荷密度?P的表达式。
解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为 ?P????P????D??0??E 在介质内没有自由电荷密度时，??D?0，则有 ?P??0??E
由于D??E，有 ??D???(?E)????E?E????0 所以 ??E??E???? 由此可见，当电介质不均匀时，??E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。 （2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0??E???0?E??? 3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的 E1?ex2y?ey3x?ez(5?z) 那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？ 解 设在介质2中 E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0) D2??0?r2E2?3?0E2 在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez?(D1?D2)?0，可得 ???ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)??2?5?0?3?0E 2z(x,y,0)于是得到 E2x(x,y,0)?2y E2y(x,y,0)??3x E2z(x,y,0)?103 故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10) 不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为 ?1??E???00rcos????2?a3Ecos?02 r?a 0r?3?02????2?E0rcos? r?a 0验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。 解 在球表面上 ?1(a,?)??E??00acos?????2?aEcos???3?00E0acos? 0??2?0?2(a,?)??3?0??2?E0acos?
0
??1?rr?a??E0cos??2(???0)3???2?E0cos???Ecos?
0??2?00??23?0?rr?a????2?E0cos? 0故有 ?， ?????1(a,?)??2(a,?)120?rr?a???rr?a 可见?1和?2满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为 ??P?(???3?0(???0)p?n2r?a0)er?E??22??(???0)?rr?a???2?E0cos? 03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0~d2)用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。 (1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； (2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。 解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有 ?E??0E0 z 又由于 Ed2?Ed02??U0 由以上两式解得 d2 U0 E??2?0U02?U0? (??? ，E? d0?? 2 0)d(??0)d 故下极板的自由电荷面密度为 ???2? 0?U0下??E 题 3.21图 (??? 0)d上极板的自由电荷面密度为 ?上???0E0?2?0?U0(??? 0)d电介质中的极化强度 P?(???2?0(??0)E??e?0U)0z(??? 0)d故下表面上的束缚电荷面密度为 ?2?0(???0U)0p下??ez?P?(??? 0)d上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ez?P??2?0(???0)U0(??? 0)d（2）由 ??Q?2?0?U Eab(???0)d0? 1 U?(???0)dQ 得到 ?2 2?0?ab?E 故 ?(???0)Qp下 ? ??ab0 ? E0 ?(???0)Qp上???ab
题3.22图