2）叠乘法
aaa2?1,3?2?n?n?1a2an?1所谓叠乘法：如a1将所有等式叠乘后就是
an1?2?3???(n?1)?a1就是将中间的a2,a3,a4，等项消去，找到与a1与an的关
系。它的目的就是找到a1与后面的关系，从而推出通项公式。
叠乘法在生活中不是很常见，但是在数列中我们会经常用到它，能把复杂的问题通过相互叠乘使之化简，从而解决问题。
例2.5 在数列?an?中，
a1?1n?1,an??an?1(n?2)2n?1，求an.
1234n?1a2??a1,a3??a2,a4??a3,a5??a4,?,an??an?13456n?1解：
因此用叠乘法可得出3）待定系数法
an?1n(n?1)
待定系数法，一种求未知的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数满足的方程或方程组，其通过方程或方程组可求出待定系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。然而求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数，接下来就看看与之相关的内容。
例2.6 设x1?2,且xn?5xn?1?7，求数列的通项公。 解：所给递推公式变形为，左右两边同时加m，
7m7m7?),令m??，则m?55554
7??77715xn??5(xn-1?),x???xn??4?是等比数列，44由此?44，于是其首项是 xn?m?5xn?1?7?m?5(xn?1q?5,于是xn?715n?1??544
公比是所以
xn?15n?17?5?44
3 递推关系在生活中的应用
递推关系中存在着三大基本问题：如何建立递推关系，已给的递推关系有何性质，递推关系如何求解。本节围绕如何求解递推关系，归类说明其广泛的应用价值．
3.1 染色问题
问题1：将一个圆分成t 个扇形(t≥2),每个扇形只能用五种不同颜色中的任意一种涂色，且相邻扇形颜色互不相同，共有多少中不同的涂法？
分析：记涂法种数为Xt(t≥2)，分析Xt与t 的关系，1 有5 种涂法，2 有4 种涂法，?，t 有4 种涂法（无论是否与1 同色），这样共有5×4n-1种涂法。5×4n-1种涂法分两类：一类是t 与1 同色，另一类是t 和1 不同色，前者不合题意，但可看成t 和1 合为一个扇形，此时有涂法种数Xt-1，故递推关系为Xt+Xt-1=5×4n-1.
例3.1：在六边形区域内饲养动物，要求同一区域饲养同一种动物，相邻区域饲养不同动物，现要饲养4 种不同动物，则有多少种
饲养方案。
解：从问题1，我们知a2=12，a3=4×32-12=24，a4=4×33-24=84，a5=4×34-84=240，a6=4×35-240=732.故不同的栽种方案有732种。
3.2 平面分割问题
问题2：设有n 条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰相交于两点，任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
分析：设an为n 条封闭曲线把平面分割成的区域个数，当平面上已有n-1 条曲线将平面分割成an-1个区域后，第n-1 条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1 条封闭曲线，且第n 条曲线与已有的每一条封闭曲线恰好相交于两点，且不会与任何两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共有an-1+2(n-1)个区域，故递推关系是an=an-1+2(n-1)，初始条件是a1=1.
例3.2：球面上有n(n≥3)个大圆，且任何三个都不相交于同一点，设球面被这n 个大圆分成bn个部分，求bn.
解：通过问题2 知，在n 个大圆基础上增加一个圆，产生2n 个交点，在第n+1 个圆上这2n 个点将圆分成2n 段弧，且每一段弧将原来的一块分成2 块，从而有bn+1=bn+2n，且b3=8. 于是有bn=b3+(b4-b3)+?+(bn-bn-1)=n2-n+2.
3.3 匹配问题
问题3：在由整数1，2，i，?，n 构成的排列中，如果i 不出现在第i 个位置，则这些整数的一个排列说成是它们的一个匹配。
分析：记1，2，i，?，n 这n 个数匹配的个数为Xn，考虑将此n个数的匹配问题行恰当分类：
若第一个位置由整数r，则第一个位置的填法有n-1 种，余下的n-2 个数2，3，?,r-1，r+1，?，n 的排法数等价于整数1，2，?，n-2 的匹配数，即有Xn-2种排法；第二类，如果第r 个位置不是1，则填入2，3，?，r-1，r+1，?，n 的排法数等价于在第2 到第n 位置上先错位排列2，3，?，r-1，r，r+1，?，n，而后将r 改为1 即可，即有Xn-1种排法，可得到递推关系式:Xn=(n-1)(Xn-1+Xn-2).
例3.3：一个班有40 名同学，每个同学写一封信并集中起来，然后每人从中拿一张别人写的信，则40 封信存在多少种不同的分配方式？
解：根据问题3，显然a1=0,a2=1,a3=2×(1+0)=2，?，a40=39×(38+37)=2925.故四张贺年卡的分配方式有2925 种。
3.4 上楼问题
问题4：某人上楼梯，要么每次向上走一阶，要么每次向上走二阶，如果用Xn表示该人走到第n 个阶梯时所有可能的不同走法的种数，求Xn．
分析：显然X1=1，X2=2.如果从最后一步走的方法来分类讨论：
①若最后一步走一阶，那么该人走到第n 个阶梯可能分成两步骤，先走到第n-1 个阶梯，此时所有可能的不同走法有Xn-1种，再从第n-1 个阶梯走一阶到第n 阶梯有一种走法，从而这一类有Xn-1种；
②若最后一步跨两阶，同理可得这一类有Xn-2种走法。 综上所述，该人走到第n 个阶梯时，所有可能的不同走法的种数：.Xn=Xn-1+Xn-2(n≥3)
例3.4：假定一对兔子(雄和雌的)，从出生第二个月开始，每个月繁殖一对新的兔子，那么，从饲养第一对兔子开始起一年后有多少对兔子呢？
解：根据问题4 知a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，a7=21，a8=34，a9=55，a10=89，a11=144，a12=233.故一年后有233 对兔子。
3.5 传球问题
问题5：X(X≥2)个人在一起相互传球，规定甲首先发球，则经过Y(Y≥2)次传球后，球再次回到甲手中的不同传球方式有多少种？
分析：设经过Y(Y≥2)次传球又回到甲的手中的不同传球方式有an 种，每次传球都有m-1 种可能，故前n-1 次传球一共有(m-1)n-1种方法，但第n-1 次传球不能传给甲，而第n-1 次传球给甲的方法总数即为an-1，故递推关系an=(m-1)n-1-an-1.
4 总结
不管是数学中还是在其它方面，递推关系都占据着举足轻重的地位。每一个知识点都不是单一存在的，它通常都是和其它相关知识综合运用，并达到解决问题目的。
虽然递推关系的求解没有一个固定的模式和固定的方法可寻，但从总体上来说，若能根据题目的重要信息，明确所属类型，或者可变形为某种类型，我们就可参照介绍的求解方法，轻松地解答。