§2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程(一)
一、基础过关
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 C．圆
B．直线 D．线段
x2y2
2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )
259A．16 C．20
B．18 D．不确定
( )
x2y2
3．“1 m－13－mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 x2y2 4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则 2449三角形PF1F2的面积等于 A．24 D．222 x2y2 A.＋＝1 1312 x2y2x2y2 B.＋＝1或＋＝1 13252513x2 C.＋y2＝1 13 x2y222 D.＋y＝1或x＋＝1 1313 6．已知两椭圆ax2＋y2＝8与9x2＋25y2＝100的焦距相等，则a的值为 9 A．9或 17 33B.或 42 ( ) B．26 D．242 ( ) ( ) 5．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为 3 C．9或 4 93D.或 172 11?1 ，，P2?0，－?的椭圆的标准方程． 7．求经过两点P1?2??33??二、能力提升 x2y2 8．方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________． 2mm－1 3 9．已知椭圆两焦点为F1、F2，a＝，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长 2为______． x2y2 10．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为 259坐标原点，那么线段ON的长是________． y2x2 11．已知椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2. ab (1)求椭圆的方程； (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． x2y2 12.如图，已知椭圆的方程为＋＝1，P点是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝ 4360°，求△PF1F2的面积． 三、探究与拓展 13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝ 2 ，曲线E过C点，动点P在E上运动， 2 且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程． 答案 1．D 2．B 3．B 4．A 5．D 6．A x2y2 7．解 方法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为2＋2＝1 (a>b>0)， ab ??a＋b＝1， 依题意，知??－1??2???b＝1， 2222?1?2?1?2?3??3? ?a＝5，??1 b＝?4. 22 1 11 ∵a2＝<＝b2，∴方程无解． 54 ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 y2x2 ＋＝1 (a>b>0)， a2b2??a＋b＝1， 依题意，知??－1??2???a＝1， 2222?1?2?1?2?3??3????1 b＝?5. 2 1a2＝， 4 y2x2 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1145方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1 (A>0，B>0，A≠B)． ?依题意，得? ?－1?＝1，B??2?2 1?2 ?1?2＝1，A?＋B?3??3? ??A＝5， ?? ?B＝4.? x2y2 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 11541 8．0 3 m－1<0??1 解析 据题意?2m>0，解之得0 3 ??－?m－1?>2m 9．6 解析 如图所示，设椭圆方程为 x2y2 ＋＝1 (a>b>0)， a2b23 又∵a＝. 2∴△ABF2的周长为 |AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝6. 10．4 解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10， ∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线， 1 ∴|ON|＝|ME|＝4. 2 11．解 (1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2， 31 所以a2－a2＝1，即a2＝1.所以a2＝4. 44y2x2 因此b＝3.从而椭圆方程为＋＝1. 43 2 (2)由于点P在椭圆上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4， 53 又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝， 22又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得 |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 cos∠F1PF2＝ 2·|PF1|·|PF2| ＝ ?5?2＋?3?2－22 ?2??2?3 532××22 ＝. 5 3 即∠F1PF2的余弦值等于. 512．解 由已知得a＝2，b＝3， 所以c＝a2－b2＝4－3＝1， ∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， ∴4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|· |PF2|cos 60°， ∴4＝16－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4， 1 ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin 60° 213 ＝×4×＝3. 22 13．解 如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中， BC＝AC2＋AB2＝ 32 ， 2 232＋＝22， 22 ∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝且|PA|＋|PB|>|AB|， ∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝2，c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程x22 为＋y＝1. 2