第21讲 矩形、菱形与正方形
1．矩形
考试 考试内容 要求 矩形的定有一个角是 的平行四边形叫做矩形． 义 (1)矩形具有平行四边形所有的性质． 矩形的性质 (2)矩形的四个角都是 ，对角线互相平分并且 ． (3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是 ． (1)定义法. 矩形的判(2)有三个角是直角的四边形是矩形． 定 (3) 的平行四边形是矩形． 2.菱形
考试 考试内容 要求 菱形的定有一组 的平行四边形叫做菱形． 义 (1)菱形具有平行四边形所有的性质． (2)菱形的四条边 ，对角线互相 ，并且菱形的性质 每条对角线平分一组对角． c (3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是 ． (4)菱形的面积等于对角线乘积的 ． b c b (1)定义法． 菱形的判(2)四条边 的四边形是菱形． 定 (3)对角线 的平行四边形是菱形． 3.正方形
考试 考试内容 要求 正方形 的定义 有一组邻边 ，并且有一个角是_______________的平b 行四边形叫做正方形． (1)正方形的四条边 ，四个角都是 ，对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分一组对角，正方形 具有矩形和菱形的所有性质． 的性质 (2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有_____________条，对称中心是对角线的交点． (1)有一组邻边相等的____________________是正方形. 正方形 (2)有一个角是直角的 是正方形． 的判定 (3)对角线 的四边形是正方形． 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
c
考试 考试内容 要求 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩基本 形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互方法 相垂直(即菱形)． c
1．(2016·杭州)在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为____________________．
2．(2016·衢州)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
(2)连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：
(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：
(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是________．
(3)如图菱形ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积1
是S＝a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例
2
来说明．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定．
类型一 矩形的性质与判定
例1 (1)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
(2)如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形；⑥AC所在直线为对称轴；⑦矩形ABCD的周长是28，点
E是CD的中点，AC＝10时，△DOE的周长是12.则正确结论的序号是________．
【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键．
1．(1)(2015·南昌)如图，小贤为了检验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
(2)(2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结
EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
2．(2017·南京模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.
(1)求证：∠PNM＝2∠CBN； (2)求线段AP的长．