5?m????m?4n?958?3∴ ? ∴ ? ∴ f(3)=?f(1)?f(2)
33?m?n?1?n?8?3?∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴ ∴ -1≤f(3)≤20
55208840≤f(1)≤,?≤f(2)≤ 33333311[点评] 1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，然后
33代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。2、本题还可用线性规划知识求解。 （三）注意转化的多样性，设计合理的转化方案
在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。 例8．设
是边长为1的正方形
所在平面上的动点，求
在什么位置时，
取得最小值。
[解析] 这是较复杂的几何问题，先考虑用解析法把问题转化
为代数问题。
如图所示，建立直角坐标系，设
，
则求设则
上式当且仅当 取最
小值
时取等号， 因此， 当且仅当。
为正方形
的最小值仍较复杂，再考虑用复数法把问题转化为复数模的问题。
的中心时，
[点评]由此题可见运用化归与转化思想去解题的能力强弱在于：1、有敏锐的洞察能力，才能找准目标模型，2、有较强的化归能力，才能有效地把问题转化为目标模型，至于运用模型的内部规律求解就比较容易了。
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利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系键”，这就要求我们在学习数学的过程中，要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础。 五、总结提炼
1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。
3．化归与转化思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决的。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的。因此，我们不能只停留在化归的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论。 六、变式训练
1．使关于x的不等式x?3?6?x≥k有解的实数k的最大值是__________ 2．已知a,b,c?R,a?0,a?b?c?0,求证：b?4ac?0 3．已知抛物线y2=2x． （Ⅰ）设A（
22,0），求曲线上距A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|； 3（Ⅱ）设A（a，0）（a∈R），求曲线上点到点A距离的最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式．
4．已知关于x的不等式
a(x?1)?2的解集为A，且3?A．
x?2（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=1时，求集合A．
5．已知a、b、c分别是?ABC的三个内角A、B、C所对的边 （1）若?ABC面积S?ABC?3,c?2,A?60?,求a、b的值； 2（2）若a?ccosB，且b?csinA，试判断?ABC的形状．
16．已知数列?an?是首项为a1?，公比q?1的等比数列，设bn?2?3log1an(n?N?)，
444
7
数列?cn?满足cn?an?bn.
?bn?成等差数列；
（Ⅱ）求数列?cn?的前n项和Sn；
（Ⅰ）求证：数列（Ⅲ）若cn?1m2?m?1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 4 [答案与提示]
1．简析:考虑到(x?3)2+(6?x)2=3,可设x=3+3sin2?,??[0,
∴x?3?6?x=3(cos?+sin?)=6sin(?+
?] 2?)≤6,即kmax=6 42．（提示：构造二次函数f(x)?ax2?bx?c，然后利用判别式）
|PA|?(x?)?y?(x?)?2x?(x?)?3．（Ⅰ）
取最小值
223222321321,?x?0,?当x=0时，|PA|2342，∴|PA|的最小值为，此时P（0，0）． 93（Ⅱ）|PA|2=（x-a）2+y2=（x-a）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0），求|PA|2的最小值转化为
求二次函数在x≥0时的最小值．
当a-1＜0?a＜1时，当x=0时，|PA|2最小值为a2，∴|PA|的最小值是|a|（此时P（0，0））；
当a-1≥0?a≥1时，当x=a-1时，|PA|2最小值为2a-1， ∴|PA|的最小值是2a?1（此时P（a-1，?2a?2））．
?|a|a?1?d??
?2a?1a?14．解：（1）∵3?A，∴当x?3时，有
a(x?1)2a≤2，即≤2． x?23?2 ∴a≤1．即a的取值范围是?a|a?1?．（2）2 5．解：（1）?S?ABC?1bcsinA?3，?1b?2sin60??3，得b?1 222222222由余弦定理得：a?b?c?2bccosA?1?2?2?1?2?cos60??3， 所以a?3 a2?c2?b2?a2?b2?c2，所以?C?90? （2）由余弦定理得：a?c?2ac 8 在Rt?ABC中，sinA?aa，所以b?c??a所以?ABC是等腰直角三角形 cc6．解：（Ⅰ）由题意知，an?(1)n （n?N? ） 4∵bn?3log1an?2，b1?3loga1?2?1 4 ∴bn?1?bn?3log1an?1?3log1an?3log1444an?1?3log1q?3 an4 ∴数列?bn?是首项b1?1，公差d?3的等差数列， 其通项为bn?3n?2（n?N? ）． （Ⅱ）∵cn?(3n?2)?(1)n,（n?N? ） 4 ∴Sn?1?1?4?(1)2?7?(1)3??(3n?5)?(1)n?1?(3n?2)?(1)n, 44444 于是1Sn?1?(1)2?4?(1)3?7?(1)4??(3n?5)?(1)n?(3n?2)?(1)n?1 444444111 1()n?1nn??)n?(3?2? 两式相减得 3Sn?1?3?(12)?(13?)?()?()?44?4444?4???1?3?1?(1)2?(1)3??(1)n?1?(1)n??(3n?2)?(1)n?1?1?(3n?2)?(1)n?1. ?44?242444?4? ∴Sn?2?12n?8?(1)n?1 （n?N? ） 334（Ⅲ）∵cn?1?cn?(3n?1)?(1)n?1?(3n?2)?(1)n ?9(1?n)?(1)n?1， （n?N? ） 444∴当n?1时，c2?c1?1当n?2时，cn?1?cn，即c2?c3?c4?????cn 4∴当n?1时，cn取最大值是1又cn?1m2?m?1对一切正整数n恒成立 44∴1m2?m?1?1即m2?4m?5?0得m?1或m??5。44 9 10