表5-1 拉普拉斯变换的基本性质
序号
性质名称 f?t?U?t? f?t? F?s? F?s? 1 2 3 4 5 唯一性 齐次性 叠加性 线 性 尺度性 Af?t? f1?t??f2?t? AF?s? F1?s??F2?s? A1f1?t??A2f2?t? f(at)，a?0 A1F1?s??A2F2?s? 1?s?F??a?a? 6 7 时移性 时域微分 f?t?t0?U?t?t0?，t0?0 F?s?e?t0s f?t?e?at F?s?a? sF?s??f0? s2F?s??sf0??f?0? 8 复频微积分 f??t? f???t? f?n??t? ??????snF?s??sn?1f0??sn?2f'0???fn?10? ???? ??9 复频移性 tf?t? tf(n)?t? t??1?1dF?s?dsndnF?s???1?dsn 10 时域积分 ?0?f???d?f?t?t F?s?s 11 复频域积分 ?F?s? s?12 时域卷积 f1?t??f2?t? F1?s?F2?s? 1F1?s??F2?s?2π 13 复频域f1?t?f2?t? 卷积 14 初值定理 f?t?cos?0t f?t?sin?0t 15 终值定理 f0??limf?t??limsF?s??t?0t????1?F?s?j?0??F(s?j?0)?2 1?F?s?j?0??F(s?j?0)?2 16 调制定理 f????limf?t??limsF?s?t??t?0 利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数f?t?U?t?的拉
普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数F?s?或原函数f?t?
表5-2 拉普拉斯变换表
序号 f?t?U?t? F?s? 1 sn 1 2 3 4 5 6 ??t? ?n?t? U?t? t tn e?at 1s 1s2 n!sn?1 1s?a 7 te?at 1?s?a?2 n!?s?a?n?1 8 tne?at 9 e?j?t 1s?j? 10 11 12 sin?t ?s2??2 ss2??2 cos?t e?atsin?t ??s?a?2??2 s?a?s?a?2??2 13 e?atcos?t 14 tsin?t ?s?s2?s2??2 ?215 tcos?t s2??22??2?2 16 17 18 ?sh?t ch?t ?s2??2 ss2??2 11?e?sT F0(s)1?e?sT ??(t?nT)n?0? 19 ?f(t?nT)n?0 20 ??U(t?nT)?U(t?nT??)?T??n?0?, 1?e?s?s1?e?sT ??
七、拉普拉斯反变换
从已知的像函数F?s?求与之对应的原函数f?t?，称为拉普拉斯反变换。通常有两种方法。
1
由于工程实际中系统响应的像函数F?s?通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦
即是s的一个有理分式，即
N?s?bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0F?s??D?s?sn?an?1sn?1???a1s?a0(5-10)
式中，a0, a1, …, an?1?和b1, b2, …, bm等均为实系数； m和n均为正整数。故可将像函数F?s?展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数f?t?。
欲将F?s?展开成部分分式，首先应将式(5-10)化成真分式。即当m?n时，应先用除
N0?s?法将F?s?表示成一个s的多项式与一个余式 D?s?之和，即
F?s??N?s?N0?s?N?s??Bm?nsm?n???B1s?B0?0D?s?D?s?，这样余式D?s?已为一真分式。对应
m?n于多项式Q?s??Bm?ns???B1s?B0各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激
F?s??N?s?D?s?已是真分式的情况讨论。分两种情况
函数本身。所以，在下面的分析中，均按研究：
(1) 分母多项式D?s??s?an?1snn?1???a1s?a0?0的根为n个单根
p1p2?pi?pn。由于D?s??0时即有F?s???，故称D?s??0的根pi(i=1,2,…,n)为
F(s)的极点。此时可将D(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分式。即
N?s?bmsm?bm?1sm?1???b1s?bF?s????D?s??s?p1??s?p2???s?pi???s?pn? (5-11)
K1K2KiKn???????s?p1s?p2s?pis?pn
式中，Ki(i=1,2,…,n)为待定常数。
可见，只要将待定常数Ki求出，则F?s?的原函数f?t?即可通过查表5-2中序号6的公式而
求得为
f?t??K1ep1t?K2ep2t???Kiepit???Knepnt??KiepitU?t?i?1n
待定常数K1按下式求得，即
Ki?
N?s??s?pi?D?s?s?pi (5-12)
现对式(5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以?s?pi?，即有
F?s??s?pi??KK1?s?pi??K2?s?pi????Ki???n?s?pi?s?p1s?p2s?pn
由于此式为恒等式，故可取s?pi代入之，并考虑到p1?p2p2?pi?pn?pi，故得：
F?s??s?pi?s?p?0?0???Ki???0i
N?s??s?pi?D?s?s?pi 于是得
Ki?F?s??s?pi?s?p?i 证毕。 *2
(Residue Method)