?7?4??9?4??1?结果：?412125?27?2??5?4??3???4?
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提示：取R的标准基，且求出(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)A，(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)B，并
A,B都可逆，即证得(?1,?2,?3)，(?1,?2,?3)都是R3的基，从而有(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)A?1B，即A?1B为由{?1,?2,?3}到{?1,?2,?3}的过渡矩阵．
5．设
?1,?2,?,an?是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个n?s矩
阵．令．(?1,?2,?,?s)?(?1,?1,?,?n)A.
证明：dimL(?1,?2,?,?s)?秩A．
?IA?P?r?0 证：设 秩A?r，则存在F上n阶可逆矩阵P和Q，使
0??Q0?（Ir为单位矩
阵）．(?1,?2,?,?n)P?(r1,r2,?,rn)，即r1,r2,?,rn线性无关．于是有?Ir?(?1,?2,?,?s)?(?1,?2,?,?n)P?00??IrQ??0??(r1,r2,?,rn)?00??Q0??(r1,r2,?,rr,0,?,0)Q，从
而?1,?2,?,?s与r1,r2,?,rr,等价，故有dimL(?1,?2,?,?s)?dimL(r1,r2,?,rr)?r=秩A．
6.6向量空间
1．证明，复数域C作为实数域R上的向量空间与V2同构． 证1 提示：直接利用定理6.6.3
证2 令f:C?V2；a?bi?(a,b)，显然是C到V2的一个映射，只要证明f为双射，且满足f(z1?z2)?f(z1)?f(z2)，f(kz)?kf(z)，则f是C到V2的一个同构映射，故C?V2
W是向量空间V到W的一个同构映射，V1是V的一个子空间．2．设f:V?证明f(V1)是W的一个子空间．
证?0?V1,而f(0)?0?f(V1)，?f(V1)是W的一个非空子集．设?,??f(V1)，所以存在?1,?1?V1，使得f(?1)??，f(?1)??， ?a,b?F， 有 a??b??af(?1)?bf(?1)
?f(a??b?)， ?a?1?b?1?V1，a??b??f(V1)，故f(V1)是W的子空间．
3．证明：向量空间F[x]可以与它的一个真子空间同构．
2证 提示：设W?{f(x)|f(x)?F[x]}， W是F[x]的子空间，且为F[x]的真子空间，（因
222为x?F[x]，但x?W），令?:F[x]?F[x]；f(x)?f(x)，可证?是F[x]到F[x]的同
构映射，故F[x]?W．
6.7矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关． 证：设性相关．
2．证明，秩(A?B)?秩A?秩B
提示：W1，W2是V的子空间，由维数公式知，dim(W1+W2）=秩W1+秩W2，令W1=A的行空间，W2=B的行空间，比较维数，结论得证．
3．设A是一个m行的矩阵，秩A?r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证明，秩B?r?s?m．
??1???1?????????????S???S?A????A???????1?0??S?1?????????B??????????0????????S?，????m?（i为A的第i行）证明：，
A?(aij)n?n，A?0?秩A?n?行（列）空间的维数?n?A的行（列）线
?0???????0?????S?1??????????m?据第2题，得，
??1??0??0??0???????????????????????S??0??0??0??????????0??????S?1??S?1??S?1?????????????????????0???????????秩A?秩??秩?m?，即r?秩B+秩?m?，因m?秩?m?+S，所以
?0???????0?????S?1?????????秩B?r?秩?m??r?(m?s)?r?s?m
4．设A是一个m?n矩阵，秩A?r，从A中任意划去m?s行与n?t列，其余元素按原来位置排成一个s?t矩阵C． 证明，秩C?r?s?t?m?n．
证明：由A中划去m?s行做成矩阵B，由第3题，有秩B?r?s?m，在B中划去n?t列做成t矩阵CB，，由第3题，有秩C?秩B+t?n，所以秩C?r?s?t?m?n．
5．求齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4?x5?0??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0?x2?2x3?2x4?x5?0 ?的一个基础解系．
解：对系数矩阵施行初等行变换后，得 ?1??0?0??00?1?11220000000??0??x1?x3?x4?1???x2??2x3?2x4?0???x5?0，
'基础解系为?1?2100?， ?1?2n01?0．
'6．证明定理6.7.3的逆命题：F的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间．
n证明：设W是F的任一子空间，而且dimW?r，令?1?(a11,?a1n)?,?r?(ar1,?arn)是W的一个基，以?1,?2,?,?r为行构成矩阵Ar?n，经初等行变换（必要时交换列）将化为?10?0c1r?1??01?0c2r?1????????00?1crr?1?????c1n??c2n????crn?)??, ?，因此(c1r?1?crr?11 0?0??x1??0?????A????????x??0?是?n???的基础解系，而?1,?2,?,?r正是
?c1n?crn00?1??c1r?1?cnr?110?0?????????????c??1n?crn00?1? ?y1????????y??n??0???????0??? （＊）的基础解系，所以（＊）的解空间为W．
nn7．证明，F的任意一个?F的子空间都是若干n?1维子空间的交．
证明：设W是F的任一子真子空间，不妨设?1,?2,?,?s为W的基，则W=dimLnn（?1,?2,?,?s）0?S?n,且dimW?S．现在把W的基扩充为F的基，
{?1,?,?S,?S?1,?,?n}，L1?L(?1,?,?S,0,?S?2,?,?n),L2?L(?1,?,?S,?S?1,0,，
?S?3,?,?n),Ln?1?L(?1,?,?S?2,?,?n?1,0),所以原命题成立.