合肥学院《大学物理Ⅰ》过关考核练习题解答
1． 长L?15cm的直导线AB上均匀地分布着线密度为??5?10C/m的电荷。求在导线的延长线上与导线一端B相距d=5cm处P点的场强。 解：建立如图所示的坐标系，在导线上取电荷元?dx。 电荷元?dx在P点所激发的场强方向如图所示， 场强大小为:dEP??91?dx24??0(L?d?x)
oAdxBPxdEPxLd导线上电荷在P点所激发的总场强方向沿x轴正方向，大小为
EP??dEP??L1?dx
04??0(L?d?x)2?1111?(?)?9?109?5?10?9(?)?675(V/m)4??0dd?L0.050.20dq；
4??0R22．一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?，求环心处O的场强E。 Y解：电荷元dq产生的场为：dE?dq??d?Ro?dEX根据对称性有：dEy?0，则：
??E??dEx??dEsin?????Rd?， ?sin?22??0R4??0R0?方向沿x轴正向。即：E???i。
2??0R3．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。 解：利用高斯定律：
???S??1E?dS??qi。
?0S内（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0； （2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE2??l?，则：E2?； ?02??0r（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；
第十一、十二、十三章静电场部分练习题解答-6
合肥学院《大学物理Ⅰ》过关考核练习题解答
?E?0???r即：E?2??0r?E?0r?R1R1?r?R2。 r?R24．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．
解：设O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴
?半无限长导线A?在O点的场强：E1 ?半无限长导线B?在O点的场强：E2????(i?j)，
4??0R????(?i?j)，
4??0R?AB圆弧在O点的场强：E3????(i?j)，
4??0R???(i?j)。
4??0R????则总场强：E?E1?E2?E3?5.在半径为R，电荷体密度为?的均匀带电球内，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，且d?r，如图所示。试求：两球心O、O'点的场强。
（提示：可利用代偿法，将没有电荷的小球看成同时 放置了??的电荷，再考虑对称性、高斯定理...）
解：（1）利用补偿法，以O为圆心，过O?点作一个半径为d的高斯面。 ROO?dr根据高斯定理有： 4?d?EO'?2???d3?0 有：EO'?43?d 方向从O指向O?； 3?0（2）过O点以O'为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有
4????r3?r323 有：EO?? 方向从O指向O? 。 4?d?EO?2?03?0d6． 电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处(r ???2S??1E?dS??qi可求电场的分布。 ??0S内orPRPQrQr3（1）r?R时，4?rE内?； ?3；有：E内?4??0R3?0R第十一、十二、十三章静电场部分练习题解答-7 合肥学院《大学物理Ⅰ》过关考核练习题解答 2（2）r?R时，4?rE外?Q?0；有：E外?Q4??0r?R2； 离球心r处(r Ur??Rr?QrQ3QQr2。 ?dr???dr??3R4??r24??0R38??R8??R0007．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，把相对电容率为?r，厚度为t (t U1?rd?rd??? ??U20(d?t)?0t?r(d?t)?t?rd?(1??r)t?0d?0E2d?0?0?r8．如图所示，半径为R=8cm的薄圆盘，均匀带电， 面电荷密度为??2?10C/m，求： （1）垂直于盘面的中心对称轴线上任一点P的电势 （用P与盘心O的距离x来表示）； （2）从场强与电势的关系求该点的场强。 解：取半径为r，宽为d r的圆环为电荷元， 其电量为dq??2?rdr，电荷元在P点的电势为： dV??52xOPxdrxrOPx14??0dqx?r22?14??0?2?rdrx?r22 （1）带电圆盘在P点的电势为： VP??dV??R14??0?2?rdrx2?r20?14??0R?2?x2?r20??(x2?R2?x) 2?0??V??VdV1x?xi，E???????2?(?1)?(1?) （2）E??2222?x?xdx4??02?0x?Rx?R（3）x=6cm， 第十一、十二、十三章静电场部分练习题解答-8 合肥学院《大学物理Ⅰ》过关考核练习题解答 VP?14??0?2?(x2?R2?x)?9?109?2?10?5?2?(62?82?6)?4.52?104(V) EP?14??0?2?(1?xx2?R2)?9?109?2?10?5?2?(1?662?82)?4.52?105(V/m) 9． 半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀 介质同心球壳，其内、外半径分别为R1 和R2，相对 电容率为?r，求：介质内、外的电场强度E和电位移D。 解：利用介质中的高斯定理 ?????S??D?dS??qi。 S内R0R1R2（1）导体内外的电位移为：r?R0，D?（2）由于 E?Q；r?R0，D?0。 4?r2D?，所以介质内外的电场强度为： r?R0时，E1?0；R1?r?R0时，E2?DQ4??r?0r2D?0?Q4??0r2； R2?r?R1时，E3??r?0?；r?R2时，E4?D?0?Q4??0r2. 10．圆柱形电容器由半径分别为RA和RB的两同轴圆柱导体面A和B所构成，内部充满均匀电介质，相对介电常数为?r；设内、外圆柱面均匀带电，单位长度的电荷分别为??和??， ?求：（1）两圆柱面之间距圆柱的轴线为r处任一点P的电场强度E；（2）两圆柱面间的电 势差UAB；（3）设此圆柱形电容器长度为l，求其电容C。 解：利用介质中的高斯定理 ???S??D?dS??qi。 S内（1）导体内外的电位移为：r?RA时，D??D；再由E?， 2?r?0?rRBBARA?????r有：E?，∴P的电场强度：E?； 2??0?rr2??0?rr（2）由UAB?rP??BA??RBE?dl，有：UAB??RAR???dr?lnB； 2??0?rr2??0?rRA（3）由C?QR?1，有：C?2?l?0?r(lnB)。 URA 第十一、十二、十三章静电场部分练习题解答-9 合肥学院《大学物理Ⅰ》过关考核练习题解答 11．如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无限远处为电势零点，试求：（1）球壳内外表面上的电荷；（2）球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；（3）球心O点处的总电势。 解：（1）由导体的静电平衡，可知金属球壳内部场强为零， 则由由 ???SS??E?dS?0（a?r?b）知，金属球壳内表面的电荷为?q， ?????E?dS?Q?q（r?b）知，金属球壳外表面的电荷为Q?q； Qq??aObr（2）由dU?dq4??0r知，由球壳内表面上电荷在球心O处产生的电势：U2??q4??0a； （3）距离球心r处点电荷q在O处产生的电势：U1?q4??0r， 再由dU?dq4??0r知，由球壳外表面上电荷在球心O处产生的电势：U3?Q?q， 4??0b∴球心O点处的总电势为：U?U1?U2?U3? q4??0r?q4??0a?Q?q。 4??0b第十一、十二、十三章静电场部分练习题解答-10