???考虑到当x?(0,)时，有 tgx?x。所以，an?tgn?2?n?2
2222注：对型如 1?an，1?an，
an?1?an都可采用三角代换。
1?anan?13 证明是整数
这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。
例3、设数列?an?满足a1?1，an?1?求证：
2a?22n11 (n?N) an?2an?N ?n?N,n?1?。
2a?22n分析 直接令bn?，转化为证明bn?N (n?N,n?1)
证明：构建新数列?bn?，令bn?442，?2a??2 n?122bnbn?12a?22n?0
2则 an?2代入 an?1?11?222???a? 整理得 b?b4?2bnn?1nn?2?an??2??222从而 bn?bn4?2b?1n?1 (n?3)
22222????b4?2b4?2b?2bb于是 bn?1nn?1n?1nn?1?1? (n?3)
2??????? bn?1?2bn?bn2?1?1? (n?3)
由已知，b2?4，b3?24，由上式可知，b4?N，b5?N，依次类推，bn?N
(n?1)，即
2a?22n?N。
例4、设r为正整数，定义数列?an?如下： a1?1，an?1(n?N) 求证：an?N。
nan?2(n?1)2r?
n?2（1992年中国台北数学奥林匹克试题）
分析 把条件变形为?n?2?an?1?nan?2?n?1?比较an?1与 an前的系数及
2r2ran?1与 an的足码，考虑到另一项为2?n?1?，等式两边同乘以?n?1?，容易想到
构新数列?bn?，使bn?n?n?1?an。
证明：由已知得?n?2?an?1?nan?2?n?1?
2r? ?n?1??n?2?an?1?n?n?1?an?2?n?1?2r?1构建新数列?bn?，bn?n?n?1?an
则b1?2，bn?1?bn?2?n?1?2r?1?bn?b1???bk?1?bk?
k?1n?1?21?22r?1?32r?1???n2r?1???
bn?N
? bn?2n ?2n2r?1??k2r?1?(n?k)2r?1
k?1n?1n?1??2r?112r22r?122r2r ??n2r?1?C2nk?Cnk???Cn?kr?12r?12r?1k?1??? nbn
n2r?1又 bn??kk?1??(n?1?k)k?12rn2r?1??k2r?1??n?1?k?k?12r?1n?2r?1?
????n?1?k?1n?2r?112?C2?k?C2r?1?n?1?r?1?n?1?2r2r k2???C2r?1?n?1?k? ?n?1? | bn
? n?n?1? | bn，从而 an?N。
4 解决整除问题
一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。
例5、设数列?an?满足a1?1，a2?3，对一切n?N，有
an?2??n?3?an?1??n?2?an，求所有被11整除的an的一切n值。
（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）
分析 变形递推关系式为an?2?an?1??n?2??an?1?an?，就容易想到怎样构建新数列了。
解：由已知an?2?an?1??n?2??an?1?an? 构建新数列?bn??n?2?, bn?1?an?1?an ?n?1? 则b2?2，bn?1??n?1??an?an?1???n?1?bn ?n?2?
? bn?nbn?1?n?n?1?bn?2???n?n?1??3b2?n! ?n?2? ? an?a1???an?an?1??1??bk??k!
k?2k?2k?1nnn从而a4?11?3，a8?11?4203，a10?11?367083，当n?11时，由于?k!被
k?11011整除，因而an??k!??k!也被11整除。
k?1k?1110n所以，所求n值为n?4，8，及n?10的一切自然数。 5 证明是完全平方数
这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项an，问题也就迎刃而解了。
例6、设数列?an?和?bn?满足a0?1，b0?0，且
?an?1?7an?6bn?3①
?b?8a?7b?4② nn?n?1?n?0,1,2,??
求证：an是完全平方数。
（2000年全国高中联赛加试题）
分析 先用代入法消去bn和bn?1，得an?2?14an?1?an?6?0，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令Cn?an?a，易求得
1a??。
2证明：由①式得bn，bn?1 代入②得
an?2?14an?1?an?6?0
1?1??1???化为?an?2???14?an?1????an???0
2?2??2???构建新数列?cn?，cn?an?11，且c0?， 22117c1?a1???7a0?6b0?3???
222cn?2?14?cn?1??cn?0
由特征方程 ?2?14??1?0 得两根
?1?7?43，?2?7?43
n所以 cn?m1?1?m2?n2
1?m?m?2??12当n?0，1时，有?
1?m7?43?m7?43?12?2?????解得：m1?m2?则 cn?1 4nn117?43?7?43 442n2n11 ?2?3?2?3
44????????nn211?则an?cn???2?3?2?3? ??24?????因为2?3?2?3 为正偶数，所以，an是完全平方数。
从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。
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