效 无 开 撕：卷名试 姓， 整完 订 装持 保 意：注 号 学 线 封线订 密装 ：面背 级班的 业纸到 专 写 可 ， 时 够 不 空 留 题 答
： ） 部 （ 系 桂林理工大学考查试卷 4．n阶方阵A有两个不同的特征值?，则p（2014~2015学年制第二学期） 1,?2，对应的特征向量分别是p1和p21和p2 线性 无关 . 课程名称： 线性代数 命题者： 试题库 [A]卷 5．设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 –2 . 试卷编码：（下） 考核年级： 2013级 题 号 一 二 三 四 五 总分 三、解答下列各题（共54分） 得 分 31?121、试计算行列式?513?4一、选择题（每题3分，共15分） 201?1.的值. (10分) 1?53?31．设行列式a11a12a=m，a13a1121a，则行列式11a12?a1322aa=na2321a21a22?a等于（ D ） 23 A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 31?1251?11? ?513?4?1113?1分 2．设矩阵A=?100???A-1等于（ B ） 201?1?0010......................................3?020??003?，则?1?53?3?5?530?511?100??3??????100????10?=?111?1.................................................6分 A. ?1?100?0?1??5?50?020?B. ??1 C. ?3?2?010? D. ?0??001? ??00???30? ??2?001?01? ????1???003???2??????0???511=?620??62分 ?3?12?5?50?5?5?30?10?40.....................................103．设矩阵A=????10?1??，A*A的伴随矩阵，则A *中位于第一行第二列的元素是（ B ） ??214?是? A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4．设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ D ） A. A =0 B. B?C时A=0 C. A?0时B=C D. |A|?0时B=C 5．已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则矩阵AT的秩等于（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 1．排列246(2n?2)(2n)135(2n?3)(2n?1)的逆序数为n(n?1) 2. 2．若A，B均为3阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝____ -54 . ??x1?x2?x3?03．若齐次线性方程组??x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足??1. ??x1?x2?x3?0 第一页（共三页） 效 无 开 撕：卷 名试 姓， 整 完 订 装 持 保 意：注 号 学 线 封线密订 装 ：面 级背 班的业纸 专到 写 可 ， 时 够 不 空 留 题 答
： ） 部 （ 系 ?010??1?1?ax1?2x2?3x3?4,2、设矩阵方程X?AX?B，其中A????111??，B????20??, 求X .(10分) 4．当a，b取何值时，方程组???2x2?bx3?2, 有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷??10?1????5?3????2ax1?2x2?3x3?6解：由X?AX?B，得X?(E?A)?1B 多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示其通解．(12分) ?解：对增广矩阵作初等行变换，有 (E?A,B)??1?101?1??10?120??10?120?? ??r???0?11?1?1???? ?1025?3????0011?1???a234??a2334??02b2???4?02b???a2??1003?1?236???2???0?2?3?2????0232???00b?30? ............................5分 ?2a????r? ???01020?? ....................................7分T??0011?1??(1) 当a?0，且b?3时，方程组有唯一解??2??a,1,0??...............................7分 ?(2) 当a?0时，?b方程组均无解。 .....................................9分 所以 X?(E?A)?1B??3?1??20??..............................................10分 ?T?1?1?? (3) 当a?0，且b?3时，方程组有无穷多解??2?a,1,0????k?0,?3,2?T。 ..............12分 3、求向量组?1?(1，2，3，4)T,?2?(1，，-11，-1)T,?3?(21，，4，3)T,? 4?(1，1，，-1-1)T的一个极大无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示． (10分) 解：解：对由该向量组组成的矩阵作初等行变换化为行最简形，得： ? ?1010?? (ar0110 1,a2,a3,a4)????????(b1,b2,b3,b4)．................6分 ?0001? ?0000?? 由此可得： (1) a1,a2,a4为一个极大无关组； .......................................8分 (2) 由b3?b1?b2知a3?a1?a2．.........................................10分 第二页（共三页） ?400???5、(文科做,工科不做)求矩阵A??031?,的特征值和特征向量．（12分） ?013????400???5、(工科做,文科不做)设A??031?,求一个正交矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵，并写出对?013???四．证明题（共16分） 1.已知A是n阶方阵,且满足 A2?A?2E?0(E是n阶单位阵),证明 A?E 和 A?3E 可逆,并求其逆矩阵. （6分） 证明: 1?1??1 ?A2?A?2E?0,??A??A?E??E ,即 ?A?E??A 2?2?1?1??1 类似地, ?A?3E???A?4E??E ,故?A?3E????A?4E? 角阵.(12分） 解：先求A的特征值、特征向量，由特征多项式，有 效 无 开 撕：卷名试姓， 整 完 订 装 持 保 意：注号 学 线 封线密订 装 ：面级背班的业纸专到 写 可 ， 时 够 不 空 留 题 答 ： ） 部 （ 系 ??400??10??10|?E?A|?0??3?1?(??2)(4??)2 ................................3分(2分) 0?1??3 A的特征值是?1?2,?2??3?4. ........................................5分(3分) 对?1?2,由(2E?A)x?0， 2.设向量组a1,a2,a3线性无关,b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a1,讨论向量组b1,b2,b3的线性相?关性. （10分） 得到特征向量p?0??1?1???, ........................................8分(5分) ??1??证明：设存在x1,x2,x3使x1b1?x2b2?x3b3?0,即x（1?1??2）?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0,..2分 对?亦即（ x1?x3)?1?(x1?x2)?2?(x2?x3)?3?0. ......................................3分 2??3?4,由(4E?A)x?0 ?1? ?1，?2，?3线性无关 得到特征向量p????0?1?2??0?,p3???. .......................................12分(7分) ??x?0????1??1???x3?0?x1?x2?0 (1) .................................................5分 p?2与p3恰好正交，所以p1,p2,p3两两正交. 再将p1,p2,p3单位化，令?i?pi||pi||(i?1,2,3) ?x2?x3?0?0101得 ???/2???,??1???,??0??110?2?0 .................................................7分 1??12??0?3??1/2?. ......................10分 ???1/2????0????1/2??011故所求正交矩阵 ? 方程组(1)只有零解x1?x2?x3?0.......................................8分 ?010??P?(?,???200?1,?23)??1/201/2???? 且P?1AP?040??. ..................12分 ? 向量组b1,b2,b3线性无关. ...........................................10分 ??1/201/2????004?? 第三页（共三页）