武汉理工大学《电力拖动与控制系统》课程设计说明书
旋转电动势和电磁转矩中都包含变量之间的乘积，这是非线性的基本因素。定转子间的相对运动，导致其夹角?不断变化，使得互感矩阵为非线性变参数矩阵。所有这些，都使异步电动机成为高阶、非线性、强耦合的多变量系统。
假定异步电动机三相绕组为Y无中线连接，若为Δ连接，可等效为Y连接。 可以证明：异步电动机三相数学模型中存在一定的约束条件：
?A??B??C?0uA?uB?uC?0iA?iB?iC?0 （1-7）
同理，转子绕组也存在相应的约束条件：
?a??b??c?0i?i?i?0ua?ub?uc?0以上分析表明，对于无中性线Y/Y联结绕组的电动机，三相变量中只有两相
a b c （1-8）
是独立的，因此三相原始数学模型并不是物理对象最简洁的描述，完全可以而且也有必要用两项模型代替。
1.2坐标变换
异步电动机三相原始动态模型相当复杂，分析和求解这组非线性方程十分困难。在实际中必须予以简化，简化的基本方法就是坐标变换。异步电动机数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的电感矩阵和转矩方程，它们体现了异步电动机的电磁耦合和能量转换的复杂关系。因此，要简化数学模型，须从电磁耦合关系入手。
1.2.1坐标变换的基本思路
如果能将交流电动机的物理模型等效地变换成类似直流电动机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。不同坐标系中电动机模型等效的原则是：在不同坐标下绕组所产生的合成磁动势相等。
三相变量中只有两相为独立变量，完全可以也应该消去一相。所以，三相绕
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组可以用相互独立的两相正交对称绕组等效代替，等效的原则是产生的磁动势相等。两相绕组，通以两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势。当三相绕组和两相绕组产生的旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为两相绕组与三相绕组等效，这就是3/2变换。
两个匝数相等相互正交的绕组d、q，分别通以直流电流，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果人为地让包含两个绕组在内的铁心以同步转速旋转，磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。如果旋转磁动势的大小和转速与固定的交流绕组产生的旋转磁动势相等，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。
1.2.2三相-两相变换（3/2变换）
三相绕组A、B、C和两相绕组之间的变换，称作三相坐标系和两相正交坐标系间的变换，简称3/2变换。
图1-2 三相坐标系和两相正交坐标系中的磁动势矢量
ABC和两个坐标系中的磁动势矢量，将两个坐标系原点重合，并使A轴和错误！未找到引用源。轴重合。按照磁动势相等的等效原则，三相合成磁动势与两相合成磁动势相等，故两套绕组磁动势在αβ轴上的投影应相等，因此
N2i??N3iA?N3iBcosN2i??N3iBsin?3?N3iCcos? （1-9）
11?N3(iA?iB?iC)322?
3?N3iCsin?3?3N3(iB?iC)2
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写成矩阵形式，得：
11??i??A1????i??N3?22?i? （1-10） ???B??i??33N2??????i?0?? 22????C?
按照变换前后总功率不变，匝数比为
N32? （1-11） N23则三相坐标系变换到两相正交坐标系的变换矩阵
11??1??2?22???C3/2? （1-12） 3?33?0?? ?22??两相正交坐标系变换到三相坐标系（简称2/3变换）的变换矩阵
???10? 2?13????C2/3?3?22? （1-13） ?13????? 2??2
1.2.3 静止两相-旋转正交变换（2s/2r变换）
从静止两相正交坐标系αβ到旋转正交坐标系dq的变换，称作静止两相-旋转正交变换，简称2s/2r变换，其中s表示静止，r表示旋转，变换的原则同样是产生的磁动势相等。
图1-3 静止两相正交坐标系和旋转正交坐标系中的磁动势矢量
旋转正交变换阵为
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???d? （1-14） ??C
?i??i??q???sin??cos?sin??i??i?cos???????i??2s/2r?i???静止两相正交坐标系到旋转正交坐标系的变换阵
? sin ? cos ? ? （1-15）
C2s/2r?????sin?cos??旋转正交坐标系到静止两相正交坐标系的变换阵
?cos??sin??C s ? ? 2 r /2 sin ? ? ? （1-16） cos??定子旋转变换阵
? cos ? sin ? ? （1-17）
转子旋转变换阵
C2s/2r(?)?????sin?cos??? ?? （1-18） ? cos( ? ) sin( ? ? ? )
电压方程
C2r/2r(???)????sin(???)cos(???)??00??isd?? usd??Rs0??sd????1?sq??u? ????????i???0R00d1sds?sq??????sq???sq????urd? ? 0? dt?(? 0 R r 0 ? ? i rd ?? rd ? ? ? 1 ? ? )? rq （1-19） ??????????ui?(???)?000R??rd?r???rq?? ??rq???rq???1磁链方程
转矩方程
0Lm0??isd???sd??Ls ??????i?0L0Lsq?sm??sq???? （1-20）
??rd??Lm0Lr0??ird??????? ?0L0L?mr???rq????irq??isqpLm ( sd irq T e ? n i rd - i ) （1-21）
旋转变换是用旋转的绕组代替原来静止的定子绕组，并使等效的转子绕组与等效的定子绕组重合，且保持严格同步，等效后定、转子绕组间不存在相对运动。旋转正交坐标系中的磁链方程和转矩方程与静止两相正交坐标系中相同，仅下标发生变化。从表面上看来，旋转正交坐标系中的数学模型还不如静止两相正交坐
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标系的简单，实际上旋转正交坐标系的优点在于增加了一个输入量ω1，提高了系统控制的自由度。
2异步电动机在正交坐标系上的动态数学模型
异步电动机三相原始模型相当复杂，通过坐标变换能够简化数学模型，便于进行分析和计算。按照从特殊到一般，首先推导静止两相正交坐标系中的数学模型，然后推广到旋转正交坐标系。由于运动方程不随坐标变换而变化，故仅讨论电压方程、磁链方程和转矩方程。在以下论述中，下标s表示定子，下标r表示转子。
2.1静止两相正交坐标系中的动态数学模型
异步电动机定子绕组是静止的，只要进行3/2变换就行了。转子绕组是旋转的，必须通过3/2变换和旋转到静止的变换，才能变换到静止两相正交坐标系。（1）定子绕组和转子绕组的3/2变换
对静止的定子三相绕组和旋转的转子三相绕组进行相同的3/2变换，变换后的定子两相正交坐标系静止，而转子两相正交坐标系以角速度逆时针旋转，如图2-1a所示。
图2-1 定子、转子坐标系到静止两相正交坐标系的变换
相应的数学模型如下：
电压方程
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