作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称
“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”
名家以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识。据《庄子》记载，名家的代表人物惠施曾提出：
“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一”。 这里的“大一”、“小一”有无穷小的意思。此外，《庄子》中还记载了许多著名的论断：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（即一尺的木棒，第一日截去一半，第二日截去剩下一半的一半，如此下去，永远都不会截取完的）；
“飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时”（即天上飞行的鸟不一定就是动的；飞速射来的箭既不是运动的，也不是静止的）；
这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。
4.1.5数学教育的开始
我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。而记载周代教育制度的古老典籍《周礼.地官》中保氏一节称：“保氏掌谏王恶，而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。”其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺。 （艺：才能、技能）前者为大学所授，后者乃小学所习。（数学在周代教育中是算大艺还是小艺？）（53）
并称：“六年教之数，十年学书计。”可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。对数学教学如此重视，且以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕见的。（周代从几岁开始学数？）（53）
4.2汉代时期—中国传统数学体系的形成
从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水路交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。（中国古代数学从哪个朝代开始有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成？）（53）
4.2.1《周髀算经》和勾股定理
《汉书.艺文志》所记载的《杜忠算术》与《许商算术》大概是中国有记载可考得最早的数学著作，可惜均已失传。（中国有记载可考得最早的，可惜均已失传的数学著作是哪两本？）1984年，湖北江陵张家山出土了一部汉简《算数书》，据考证，此书是汉高祖到汉文帝时期的一部数学著作，它也是中国目前所能见到的最早的数学专著。（中国目前所能见到的最早的数学专著是《九章算术》吗？是哪一本？）该书以问题集的体例编纂，全书共90题，包括整数、分数的四则运算，比例问题，面积和体积等，大部分内容与《九章算术》相似。（ 1984年，湖北江陵张家山出土了一部汉简《算数书》以什么样的体例编纂？该书共几个问题？）（53）
比《九章算术》稍早且流传下来的一部重要的著作是《周髀算经》，该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，，其中许多内容甚至可以追溯到西周。唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》，并改名为《周髀
算经》，（《周髀》时候改名为《周髀算经》？《周髀》大约成书于什么时期？）（53）
严格地讲，《周髀算经》并不是一本数学专著，而是一本介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。（《周髀算经》是一本数学专著吗？含有哪些重要数学内容？主要应用于哪些领域？）（53）
《周髀算经》是我国最早记录有关勾股定理的著作。（53）
中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者。他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释，二是较详细地数学理论推演，三是补图。其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。（中国关于勾股定理的证明最早是由谁给出的？赵爽是对《周髀》进行认真研究和注释的学者。他的工作主要包括哪些方面的内容？）（54）
4.2.2《九章算术》
标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》。该书的作者和成书年代难以确切地考证。众多学者认为，它成书于西汉末年东汉初，即公元1世纪初。中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种的联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法建立某种联系，但没有成功。也许正是这种原因，确定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系。（《九章算术》的成书是中国传统数学理论体系形成的标志？《九章算术》的作者是谁？成书于何时期？ 《九章算术》所特有的处理方式？—见P55）（54）（《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里，经众多学者编纂、修改而成的一部书学著作。）
《九章算术》全书采用问题集的形式，书中每道题皆有问有答有术。其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术。全书内容丰富，且密切联系实际，《九章算术》全书共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。（ 《九章算术》是问题集吗？“有问有答有术”的“术”是指什么？全书共有几个应用题？这些问题分别隶属于哪几章？）（55）
对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明，解法大多数是正确的，有些是近似的，极少数有错误。（对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，是否给于证明？）（55）
《九章算术》第八章“方程”主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。（56）
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，故提出了“以正负术入之”。即引入负数及其运算法则。（《九章算术》有对负数的概念、运算进行研究吗？）（57）
第九章“勾股”主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。（57） 《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极
其深刻的影响。可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。《九章算术》成书以后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的数学家们学习、研究和著述的依据。（与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成始于什么著作的成书？ 《九章算术》成书以后，成为后来的数学家们学习、研究和著述的依据？ ）（58）
4.2.3刘徽和祖氏父子
1.刘徽的数学贡献（魏晋时期人）
数学史界的一个普遍的观点是，如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九章算术》，则很难深入理解《九章算术》的精髓。事实上，刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，发展《九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系，做出了杰出的贡献。（《九章算术注》对《九章算术》的贡献是什么？）（58）
刘徽，魏晋时期人，年轻时十分好学，尤其喜欢数学。在当时的数学著作中，《九章算术》的不少数学问题难度较大，理论色彩也较浓。一般学者难以掌握，为了进一步探索数学的奥秘，让更多人掌握数学，刘徽立志要对《九章算术》作更深入的研究。（）（58）
刘徽经过多年的刻苦钻研，不仅逐步领会了《九章算术》的精神实质，而且对其中的深奥玄妙之处有了较透彻的理解，于是他决心把自己的研究所得以对《九章算术》作注的形式一一记载下来。为了使自己的叙述通俗化，他为自己规定的目标是用言辞来分析与表达道理，用图形来建立几何直观帮助解决问题。公元263年，刘徽的《九章算术注》终于问世了，书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献。（刘徽在什么情况下决定对《九章算术》作注？刘徽在为《九章算术》作注时给自己规定了什么原则？刘徽的《九章算术注》成书于何年？）（58）
在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论。他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度。他把分数看成比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响。（在算术方面，刘徽阐发了分数理论。他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平吗？刘徽把分数看成比，由此发展出“率”的概念，成为中国传统算法理论发展的重要基础， ）（58）
在代数方面，《九章算术》中的线性方程组以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年，而给这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽。（在代数方面，《九章算术》中的线性方程组以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。前者比欧洲早几年，后者也早了几多年，而给这两项算法以完整的理论说明的是哪位数学家？）（59）
刘徽第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。对于正负数，刘徽的定义可以说是经典型的。他把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释，这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的。此外，他由取平方
根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数——斯蒂文的小数记法要早出1300多年。（谁第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理？谁在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法？刘徽由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数——斯蒂文的小数记法要早出多少年？）（59）
在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明。这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等，其中最常用的是图形割补法，这与他提出的“解体以图”的目标是一致的。刘徽对用图很考究，不仅对插图施以颜色，用黄、朱、青三种颜色标出各种不同的图形，而且强调要“按图为位”，使图形与文字互相对照。特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图形割补法尤为出色。（谁是中国特色传统几何理论的奠基者？刘徽在几何证明中最常用的是的是图形割补法，这与他提出的什么的目标是一致的？）（59）
刘徽的“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并借助于极限的方法。（刘徽的“割圆术”的基本思想是什么？）（59）
体积理论。刘徽首先将一个长方体剖分，得到了几个（四种）基本的几何体。利用这四种基本几何体，将其它的几何体加以恰当的分割，就可以方便地求出它们的体积了。人们把刘徽的这种方法称为“棋验法”。（61）
显然，刘徽能熟练地运用了出入相补原理和无穷分求和原理。（61）
刘徽一生不仅成就卓著，而且品格高尚。在学术研究中，他既不迷信古人，也不自命不凡，而是坚持实事求是，以理服人。（61）
刘徽的“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。刘徽对于牟合方盖的体积如何求处，百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”。由此我们可以看出刘徽学术研究中的严谨与谦逊的态度，也许正是这二者的结合，使得刘徽在数学研究方面作出了举世瞩目的成就，给后人留下丰富的文化财富。（刘徽的品格如何？什么是刘徽的“牟合方盖”？刘徽是否解决了“牟合方盖”问题？ “付之缺疑，以俟能言者” 谁的名言？什么意思？）（62）
（4）勾股测量
刘徽不仅注重数学理论研究，而且也注重数学的实际应用。他在为《九章算术》作注的同时，还实际处理了许多测量问题。他的另一部著作《海岛算经》 ，就是在测量的具体实践过程中总结而成的关于“测高望远之术”的专著。该书共九问，涉及到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望。
《海岛算经》是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比率和重差测量的演化历程，标志着中算家在测量技术及理论方面所达到的新的高度。（什么标志着古代中算家在测量技术及理论方面所达到的新的高度？）（63）
2.祖氏父子的数学贡献 祖冲之（429—500），字文远，祖籍范阳道县。他生活在南北朝，家学渊博，加上他自幼刻苦勤奋，对天文、数学有浓厚的兴趣，而成为一位博学多才的天文学家与数学家、机械制造专家、文学家。他编织的《大明历》，首次考虑到岁差的计算，
其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历法精确。此外，它还改造了指南车，制造了水碓磨、千里船等。他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学。父子俩都对《九章算术》与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作《缀术》在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书。（谁编织的《大明历》，首次考虑到岁差的计算，其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历法精确？谁的著作《缀术》在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书？）（63）
祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是对圆周率的推算。由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率为355/113；约率为22/7.其中密率在欧洲由德国数学家奥托于1573年得到，这比祖冲之要晚1100年之久。密率是一个很好的分数近似值。（祖冲之继承了谁的思想，其最突出的成就是对圆周率的推算？祖冲之又给出了圆周率的几个分数值？祖冲之的圆周率比德国数学家奥托早多少年？）（64）（球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之本人引以为荣的两大数学成就。）
祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索。经父子两代人不懈的努力，终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比为2/3。祖氏父子所用的方法论证严谨，推导完善，无懈可击；同时，祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题。（祖氏父子在数学方面是沿着谁开辟的道路继续探索？刘徽的“牟合方盖”体积计算问题最终是由谁给解决了？祖暅得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比是多少？）（64）
“缘幂势既同，则积不容异”——“祖暅原理”。（ “缘幂势既同，则积不容异” 是谁的原理？）（64）
“祖暅原理”在西方数学界被称为“卡瓦列利原理”（17世纪意大利数学家卡瓦列利发现的，比祖暅晚了1100多年。）（西方数学界的“卡瓦列利原理”是古代中国的什么原理？“祖暅原理”比“卡瓦列利原理”早多少年？ ）（64）
由于祖氏父子的著作均已失传，他们的这一研究成果幸亏被唐代李淳风摘录在《九章算术》中，才使我们见到这一光辉成就。（）（65）
4.2.4《算经十书》
魏晋时期是中国古代学术研究继春秋战国以后又一个繁荣时期。刘徽注《九章算术》、赵爽注《周髀》及祖氏父子的工作，使中国古代数学在理论研究方面达到了一个新的高度。这一时期的数学著作较多，流传至今的就有《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》和《夏侯阳算经》等，这些著作大多反映了当时社会各方面的需要，在内容上基本是《九章算术》的沿袭与补充，在编写风格上也大多数模仿《九章算术》。这些著作的出现，标志着数学研究的深入和数学教育的普及。（）（65）
隋唐时期是中国封建社会发展的鼎盛时期，社会稳定，农业生产发展迅速，使得与生产密切相关的历法、数学又有了长足的进步。从隋代开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府—国子监中，设立算学科，专门从事数学教学。唐朝建立以后，在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科，设有算学博士与算学助教各二人，