第五章 角动量 关于对称性
思考题解答
5.1下面的叙述是否正确,试作分析,并把错误的叙述改正过来:
(1) 一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定
了，同时作用于质点的力矩也就确定了。
(2) 质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩的作用。
??(3) 力F1与z轴平行，所以力矩为零；力F2与z轴垂直，所以力矩不为零。
(4) 小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固定在铅直轴上。垂直于
杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。所以，力矩是产生角动量的原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。
(5) 作匀速圆周运动的质点，其质量m，速率v及圆周半径r都是常量。虽然其速度方
向时时在改变，但却总与半径垂直，所以，其角动量守恒。 答：（1）不正确. 因为计算力矩, 必须明确对哪个参考点. 否则没有意义. 作用于质点的合力可以由加速度确定. 但没有明确参考点时, 谈力矩是没有意义的.
（2）不正确. 质点作圆周运动时, 有两种情况: 一种是匀速圆周运动, 它所受合力通过圆心; 另一种是变速圆周运动, 它所受的合力一般不通过圆心. 若对圆心求力矩, 则前者为零, 后者不为零.质点作直线运动, 作用于质点的合力必沿直线. 若对直线上一点求力矩, 必为零; 对线外一点求力矩则不为零.
（3）不正确. 该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩. 力与轴平行, 力对轴上某点的力矩一般不为零, 对轴的力矩则必为零.力与轴垂直, 一般力对轴的力矩不为零, 但力的作用线与轴相交, 对轴力矩应为零
（4）不正确. 因为一个物体在不受力的情况下, 保持静止或匀速直线运动状态, 它对直线外一点具有一定的角动量而并无力矩. 根据角动量定理, 力矩为物体对同一点角动量变化的原因. 力矩的方向与角动量变化的方向相同, 而与角动量的方向一定不相同.
（5）不正确. 因为作匀速圆周运动的质点, 所受合力通过圆心, 对圆心的力矩为零，对圆心的角动量守恒，但对其他点，力矩不为零，角动量不守恒。
5．2回答下列问题，并作解释：
（1） 作用于质点的力不为零，质点所受的力矩是否也总不为零？ （2） 作用于质点系的外力矢量和为零，是否外力矩之和也为零？ （3） 质点的角动量不为零，作用于该质点上的力是否可能为零
答（1）不一定。作用于质点的力矩不仅与力有关，还和所取得参考点有关。当力的作用线过参考点时，对该点的力矩就一定为零。
???（2）不一定。作用质点系的外力矢量和为零?Fi?0，但对某点的力矩之和?ri?Fi???不一定为零。如一对力偶，因F'??F，?Fi?0。但对任一点的力矩之和等于力偶矩，并不等于零。
（3）可能为零。因为质点不受力时，保持静止或匀速直线状态。作匀速直线运动的质
??点对线外一点的角动量为r?mv，不为零，但质点受的力为零。
5．3试分析下面的论述是否正确：“质点系的动量为零，则质点系的角动量也为零；质点系的角动量为零，则质点系的动量也为零。”
答：不正确。以两个质点组成的最简单的质点系为例说明。
?（1）两质点质量相同，运动速度等大反向，且不沿同一条直线质点的动量?mivi?0。但对中心的角动量大小为为零
?r?i??mvi?2dmv，d为两速度方向垂直距离的一半，并且不
??（2）两质点质量相同，运动速度等大同向，质点系的动量?mivi?2mv，不为零。
??但对中心的角动量?ri?mivi?0
5．4本章5.12图中题是否可以运用动量守恒定律来解释？为什么？
答：不能。将盘、重物、胶泥视为质点系，碰撞过程中受外力为绳的拉力和重力。由于冲击， 绳的拉力会增大，重力无变化，外力之和2T?(2m?m')g?0，所以总动量不守恒。
5．5一圆盘内有冰，冰面水平，与盘面共同绕过盘中心的铅直轴转动。后来冰化成水，
问盘的转速是否改变？如何改变。不计阻力矩。
答：有变化。因为冰化为水，体积变小，各质元到轴的距离也变小。对轴的角动量 L??mr2ii2?守恒，其中，?miri变小，?变大
5．7角动量是否具有对伽利略变换的对称性？角动量守恒定律是否具有对伽利略变换的对称性？
答：角动量对不同的参照系具有不同的值，所以角动量对伽利略变换不具对称性；但角动定理
ddt????(r?mv)?r?F对不同的惯性系具有相同的形式，所以角动量定理对伽利略变换具
有对称性。同理，角动量守恒定理对伽利略变换也具有对称性。
5．8南北极的冰块溶化，使地球海平面升高，能否影响地球自转快慢？
答：南北极的冰块溶化，地球海平面升高，南北极的水质元向赤道方向移动，到轴的距离增大，角动量L?
?mr2ii ?守恒。其中，?miri变大，?变小，而地球对轴的转动会变慢。
2习题
5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km，远地点d远=2384km，地球半径R=6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。
解：人造卫星绕地心转动，受地球的吸引力过地心，所以吸引力对地心的力矩等于零，故卫
星的角动量守恒。近地点、远地点的速度与矢径垂直。设近地点的速度为v1，矢径为r1；远地点的速度为v2，矢径为r2，根据角动量守恒定律
r1?mv1?r2?mv2
?1.29
439?6370???5.1.2 一个质量为m的质点沿着一条由r?acos?ti?bsim?tj定义的空间曲线运动，
v2?r1?d1?R?v1r2d2?R2384?6370其中a、b及?皆为常数。求此质点所受的对原点的力矩。
???解：已知 r?acos?ti?bsim?tj
???dr????asim?ti??bcos?tj 所以 v?dt?a??dvdt
????222????acos?ti??bsin?tj???(acos?ti?bsim?tj)???r
2??2?根据牛顿第二定律，F?ma??m?r
????2?有心力对原点的力矩：??r?F?r?(?m?r)?0
????25.1.3 一个具有单位质量的质点在力场F?ma?(3t?4t)i?(12t?6)j中运动，其
中t是时间。设该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时该质点所受的对原点的力矩。所受的对原点的力矩。
????2F?ma?(3t?4t)i?(12t?6)j 解：因单位质量 m=1 且
???dv?2?a??(3t?4t)i?(12t?6)j
dt?? 又 t=0时 r0?0 v0?0
?????v?2322 v??[(3t?4t)i?(12t?6)j]dt?(t?2t)i?(6t?6t)j
0???1423?232?0[(t?2t)i?(6t?6t)j]dt?(4t?3t)i?(2t?3t)j
????4?? 当t=2s时 r??i?4j F?4i?18j
3????4???? 对原点的力矩 ??r?F?(?i?4j)?(4i?18j)??40k
3? r?32?r5.1.4地球质量为6.0?1024kg，地球与太阳相距149?1024km，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动。求地球对于圆轨道中心的角动量。
2?解：地球绕太阳的速率 v?r??r?
T 角动量 L?mv?r?2?mrT2
2?2?3.14365?2?4?6.0?10?360024(1?4941 0)2=2.65?1040kg.m/s
5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。
?????dr????a?sim?ti?b?cos?tj 解：由 r?acos?ti?bsim?tj 得 v?dt对原点的角动量
????????L?r?mv?(acos?ti?bsim?tj)?m(?a?sim?ti?b?cos?tj)?mab?k
5.1.6解：根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2s时对原点的角动量。
??????2解：由 F?ma?(3t?4t)i?(12t?6)j m=1 v0?0 r0?0
???dv?2?(3t?4t)i?(12t?6)j ?a?dtt????322 积分：v??adt?(t?2t)i?(6t?6t)j
0?4?i?4j 3?????4?? ?L?r2?mv2?m(?i?4j)?12j??16k
3 t=2s 时 v2?12j r2?????5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？
解：小球受力：重力、桌面的支持力，二者相等；拉力，通过圆心，力矩为零。所以小球的
角动量守恒。
r1v?v1 mr1v1?mr2v2 2r2根据牛顿第二定律 F1?mv12r1 v1?F1r1m?10?3?0.40.01?0.2m/s
?0.2?0.8m/s v2?0.1?由动量定理拉力F作的功
0.4 A?12mv2?212mv1?212?0.01?(0.8?0.2)?3?1022?j
35.1.8 一个质量为m的质点在0-xy平面内运动，其位置矢量为
???r?acos?ti?bsim?tj
其中a、b和?是正常数。试以运动方程及动力学方程观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。 证明：（1）运动学方法
?????dr?? r?acos?ti?bsim?tj v???a?sim?ti?b?cos?tj
dt 角动量
?? L?r?mv?(acos?ti?bsim?tj)?m(?a?sim?ti?b?cos?tj)?mab?k 为常矢量，所以守恒。 （2）动力学方法
?????dv?2222? a????acos?ti??bsin?tj???(acos?ti?bsim?tj)???r
dt???????2? F?ma??m?r ??r?F?r?(?m?2r)?0
?????? 所以对原点角动量守恒。
5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面与固定点A相连。弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm。最初小球的位置及速度v0如图所示，当小球的速率为v时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速率v及初速率v0。
A400mmBv0300???? ??解：以小球为隔离体，受重力W，水平面支持力N，N??W；弹性绳的张力T，T指
向A点。设A、B两点距离为d
当d?0.6m时, T=0; 当d>0.6时 T=K(d- 0.6) K=8N/m
小球受到的对A点的合力矩为零，所以小球B对A点的角动量守恒。 初始：L0?mv0d0sin30?12012mv0d0
A和B距离最大时，速度v垂直AB，角动量 L=mvd
mv0d0?mvd 14v0
v? 在此过程中只有保守力作功，所以物体系的机械能守恒
12mv0?212mv2?12K(d?0.6)
2 解得：v0?1.306m/s; v?0.33m/s
5.1.10 一条不可伸长的细绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一质量为0.5g
?的小球，小球沿水平圆周运动。最初l1?2m，?1?30，后来继续向下拉绳使小球以?2?60沿水平圆周运动。求小球最初的速度v1、最后的速度v2以及绳对小球做的功。
?解：以小球为隔离体。受重力，绳的张力，如图所示
l2?2?1l1（1）求v1?FTcos?1?mg?0
2由牛顿定律得 Tsin?1?mvl1sin?1
?1?3001所以 v?(1lgs?in?t2g?)11(2 ) 求v2 ：因拉动过程对轴的角动量守恒
2. 3m8s/0mv2l2sin?2?mv1l1sin?1 ?2?60
则 l2?v1l13l2
Tcos?2?mg?0'由牛顿定律
Tsim?2?mv1l13v2'v22 消去T'
l2sim?2gsim?2tg?2
v2?l2gsim?2tg?2?2v2?33gv1l12?1.73?9.8?2.38?22l2?v1l13v21?40.352.38?2
v2?3.43m/s
?3?3.43?0.80m
（3）求A 由动能定理
cos?1)?8.04?10 A?(mv2?mgl2cos?2)?(mv1?mgl122122?3J
5．2．1 离心调速器模型如图所示。由转轴上方向下看，质量为m的小球在水平面内
绕AB逆时针作匀速圆周运动，当角速度为?时，杆张开?角。杆长为l，杆与转轴在B点相交。求（1）作用在小球上的各力对A点、B点及AB轴的力矩。（2）小球在图示位置对对A点、B点及AB轴的角动量。杆质量不计。