（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH． 可； （3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长上，D在BC的延长线上时，求出CD=1． ∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7． 解答： 解：（1）故答案为：=． 分两种情况： ①P为底边BC上一点，如图①． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4； ∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，A②P为BC延长线上的点时，如图②． ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AE∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10． ∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF， ∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE （3）解：CD=1或3， 12．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3； 考点： 分析： ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于 则AM∥EM， 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1 ， （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN即可； （2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即
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∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=1 13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 考点： 分析： 解答： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60从而证得结论； （2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD∴AD=BE． （2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠C 15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB
延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．和CF， 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出求证：AE=CF．AB=AC=CD ，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可． 解：∠F=∠MCD， 理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°， 在△ACE和△ABE中 考点： 分析： 解答： ∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴ AB=AC， 考点： 全等三角形的判定与性质． ∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM分析： ，CE=BE根据已知利用，∴∠CMA=∠BMASAS，即可判定 △ABE≌△CBF，根据∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA解答：， 证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°， ∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD， 又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）． ， ∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）， 16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠在PMF=180△EOF中，∠°， EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F． 段AE与BF之间有什么关系？请说明理由． 14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． （1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论． （2）求∠BFD的度数．
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考点： 分析： 解答： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． ∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG． 可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣D得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF． 解：AE与BF相等且垂直， 理由：在△AEO与△BFO中， ∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF， ∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF． 延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO， 由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF． 17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明； （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．
考点： 分析： 解答： 考点： 等腰三角形的性质；三角形的面积． 等腰三角形的性质． 分析： 猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明； S△CAB=AB?CF，S△PAC=AC?PE，AB?PD=（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答： 解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为解：（1）DE+DF=CG． 连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB， 证明：连接AD， ∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，S△CAB=A则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF． 又∵AB=AC，∴S△PAC=AB?PE，∴AB?PD=A （2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG． 即AB（PE+CF）=AB?PD，∴PD=PE+CF． 理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB?DE=AB?CG+AC?DF
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