1成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7. 411．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4?).
(1)求证：数列{an}是等比数列；
＜T1=
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f((3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－?+b2n－1b2n－b2nb2n+1.
解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t. ∴a2=又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， 3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ①－②得3tan－(2t+3)an－1=0. ∴
1bn?1)(n=2,3,4?)，求数列{bn}的通项bn；
2t?3a22t?3,?. 3ta13t
①
②
an2t?32t?3?,n=2,3,4?, 所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列； an?13t3t122t?321=?,得bn=f()=+bn－1?.
bn?133t3t(2)由f(t)=
222n?1的等差数列. 于是bn=1+(n－1)=; 333252n?14n?1(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,
3333∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+?+b2n－1b2n－b2nb2n+1? =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+?+b2n(b2n－1－b2n+1)
44154n?142
=－ (b2+b4+?+b2n)=－·n(+)=－ (2n+3n)
332393可见{bn}是一个首项为1，公差为12．已知?为锐角，且tan??数列{an}的首项a1?2?1，函数f(x)?x2tan2??x?sin(2???4)，
1,an?1?f(an). 2 ⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an?1?an；
⑶ 求证：1?111?????2(n?2,n?N*)
1?a11?a21?an分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。 解：⑴tan2??2tan?2(2?1)??1 又∵?为锐角 221?tan?1?(2?1) ∴2???4 ∴sin(2???4)?1 f(x)?x2?x
2 ⑵ an?1?an?an ∵a1?1 ∴a2,a3,?an都大于0 22 ∴an?0 ∴an?1?an
⑶
1an?1?1111111 ∴ ?????21?ananan?1an?anan(1?an)an1?an ∴
111111111 ????????????1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1111 ??2?a1an?1an?1122 ?∵a2?()?1333?, a3?()2??1 , 又∵n?2an?1?an 2444 ∴an?1?a3?1 ∴1?2?1an?1?2
∴1?111?????2 1?a11?a21?an点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。