大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））
v2dvμ?? Rdt取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有
?t0dt??RvdvRv0 v?2?v0μvR?v0μt(2) 当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为
t??R μv0物体在这段时间内所经过的路程
s??vdt??0t?t?0RRv0dt s?ln2
μR?v0μt2-20 分析 物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可．但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零．
解 (1) 物体在空中受重力mg和空气阻力Fr ＝kv 作用而减速．由牛顿定律得
?mg?kv?mdv (1) dt根据始末条件对上式积分,有
?t0dt??m?vv0vdvm?kv0? t?ln??1??6.11s ??mg?kvk?mg?(2) 利用
dvdv?v的关系代入式(1),可得 dtdy?mg?kv?mv分离变量后积分
dv dy?y0dy???v00?mvdvm?mg?kv0? 故 y????ln?1??v0??183m ??mg?kvk?k?mg??2vv讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动．由公式t?0和y?0分别算
g2g得t≈6.12ｓ和y≈184 m,均比实际值略大一些．
2-21 分析 由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反,因此,物体在上抛过程
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中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落过程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向则相反．又因阻力是变力,在解动力学方程时,需用积分的方法．
解 分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y 轴(如图所示)．(1) 物体在上抛过程中,根据牛顿定律有
?mg?kmv2?mdvvdv ?mdtdy依据初始条件对上式积分,有
?y0dy???0v0vdv1?g?kv2?? y??ln?2?g?kv22k?g?kv0??物体到达最高处时, v ＝0,故有
h?ymax2?1?g?kv0??ln?? 2k?g??(2) 物体下落过程中,有
?mg?kmv2?mvdv 对上式积分,有 dy?1/2?y0dy???0v0?kv2?vdv?1? 则 v?v0?2?g?g?kv??
2-22 分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr ＝kv2 ,且Fr又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．
解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有
F?kv2?mdv (1) dt当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得
k＝F/vm2 (2)
由式(1)和式(2)可得
?v2?dv? (3) F?1??m?v2?dtm??根据始末条件对式(3)积分,有
1m2vm?v2?mvm??dt?1?dvt?ln3 则 2??0F?0?2Fvm??t?1又因式(3)中mdvmvdv?,再利用始末条件对式(3)积分,有 dtdx第-27-页 共-146-页
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122m2vm?v2?mvm4mvm?0dx?F?0??1?v2??dv 则 x?2Fln3?0.144F
m??x?12-23 分析 如图所示,飞机触地后滑行期间受到5 个力作用,其中F1为空气阻力, F2 为空气升力, F3 为跑道作用于飞机的摩擦力,很显然飞机是在合外力为变力的情况下作减速运动,列出牛顿第二定律方程后,用运动学第二类问题的相关规律解题．由于作用于飞机的合外力为速度v的函数,所求的又是飞机滑行距离x,因此比较简便方法是直接对牛顿第二定律方程中的积分变量dt 进行代换,将dt 用再作积分．
解 取飞机滑行方向为x 的正方向,着陆点为坐标原点,如图所示,根据牛顿第二定律有 FN?k1v?mdx代替,得到一个有关v 和x 的微分方程,分离变量后vdv (1) dtFN?k2v2?mg?0 (2)
2将式(2)代入式(1),并整理得
?μmg??k1?μk2?v2?m分离变量并积分,有
dvdv?mv dtdx?vv0?mvdv??dx 2?0μmg??k1?μk2?v得飞机滑行距离
?μmg??k1?μk2?v2?mx?ln? (3)
2?k1?μk2??μmg??考虑飞机着陆瞬间有FN＝0 和v＝v0 ,应有k2v02 ＝mg,将其代入(3)式,可得飞机滑行距离x 的另一表达式
2?k1?k2v0?x?ln?? 2g?k1?μk2??μk?2?讨论 如飞机着陆速度v0＝144 km·h-1 ,μ＝0.1,升阻比
k1?5,可算得飞机的滑行距离x k2＝560 m,设计飞机跑道长度时应参照上述计算结果．
2-24 分析 如同习题2 -5 分析中指出的那样,可对木箱加上惯性力F0 后,以车厢为参考系进行求解,如图所示,此时木箱在水平方向受到惯性力和摩擦力作用,图中a′为木箱相对
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车厢的加速度．
解 由牛顿第二定律和相关运动学规律有
F0 -Fｆ＝ma -μmg＝ma′ (1) v′ 2 ＝2a′L (2)
联立解(1)(2)两式并代入题给数据,得木箱撞上车厢挡板时的速度为
v??2?a?μg?L?2.9m?s?2
2-25 分析 如以加速运动的电梯为参考系,则为非惯性系．在非惯性系中应用牛顿定律时必须引入惯性力．在通常受力分析的基础上,加以惯性力后,即可列出牛顿运动方程来．
解 取如图(b)所示的坐标,以电梯为参考系,分别对物体A、B 作受力分析,其中F1 ＝
m1a,F2 ＝m2a 分别为作用在物体A、B 上的惯性力．设ar为物体相对电梯的加速度,根据牛
顿定律有
m1g?m1a?FT1?m1ar (1) m2g?m2a?FT2??m2ar (2) FT2?FT2 (3)
由上述各式可得
ar?m1?m2?g?a? FT2?FT2?2m1m2?g?a?
m1?m2m1?m2由相对加速度的矢量关系,可得物体A、B 对地面的加速度值为
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a1?ar?a??m1?m2?g?2m2a am1?m22???ar?a???2m1a??m1?m2?g
m1?m2a2 的方向向上, a1 的方向由ar 和a 的大小决定．当ar ＜a,即m1g -m2g -2m2 a＞0
时,a1 的方向向下；反之, a1 的方向向上．
2-26 分析 这类问题可应用牛顿定律并采用隔离体法求解．在解题的过程中必须注意： (1) 参考系的选择．由于牛顿定律只适用于惯性系,可选择地面为参考系(惯性系)．因地面和斜面都是光滑的,当滑块在斜面上下滑时,三棱柱受到滑块对它的作用,也将沿地面作加速度为aA 的运动,这时,滑块沿斜面的加速度aBA ,不再是它相对于地面的加速度aB 了．必须注意到它们之间应满足相对加速度的矢量关系,即aB ＝aA ＋aBA ．若以斜面为参考系(非惯性系),用它求解这类含有相对运动的力学问题是较为方便的．但在非惯性系中,若仍要应用牛顿定律,则必须增添一惯性力F,且有F ＝maA ．
(2) 坐标系的选择．常取平面直角坐标,并使其中一坐标轴方向与运动方向一致,这样,可使解题简化．
(3) 在分析滑块与三棱柱之间的正压力时,要考虑运动状态的影响,切勿简单地把它视为滑块重力在垂直于斜面方向的分力mgcos α,事实上只有当aA ＝0 时,正压力才等于mgcos α.
解1 取地面为参考系,以滑块B 和三棱柱A 为研究对象,分别作示力图,如图(b)所示．B 受重力P1 、A 施加的支持力FN1 ；A 受重力P2 、B 施加的压力FN1′、地面支持力FN2 ．A 的运动方向为Ox 轴的正向,Oy 轴的正向垂直地面向上．设aA 为A 对地的加速度,aB 为B 对的地加速度．由牛顿定律得
?FN1sinα?m?aA (1)
?FN1sinα?maBx (2)
FN1cosα?mg?maBy (3)
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