基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计
??的相移，对负频率产生相移，说，也
2221可以说，在时域信号内，每一频率成分作波长移位。因此，希尔伯特变换器
信号的?的相移，对正频率产生??4又总是被称为90度移相器。
3.1.3 解析信号的虚部
为了对希尔伯特变换的意义进行进一步理解，在此引入解析函数Z(t):
Z(t)?f(t)?jf(?t) 也可以写成
Z(t)?A(t)e?j?(t) 其中，A(t)为希尔伯特变换的包络；?(t)为瞬时响应信号。 把希尔伯特变换的包络A(t)定义为
A(t)?f2?(t)?f2(t) 相位定义为
???(t)?arctan?f(t)??? ?f(t)? ?瞬时频率定义为
f1d?(f)0?2?dt 根据傅里叶变换式
Z(t)?F?1[Z(f)] ?f(t)?jf?(t)
??f(t)?Re[Z(t)]??f(t)?Im[Z(t)] 为计算Z(f)，由F?(f)??[jsgn(f)]F(f).知
Z(f)?[1?sgn(f)]F(f)
?B1(f)F(f) 其中
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(3-5)
(3-6)
(3-7)
(3-8)
(3-9)
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?2,?f?0B1(f)??
0,?f?0?因此，可以简单地从F(f)得到Z(t)，而Z(t)的虚部即f(t)。通过观察希尔伯特变换的定义式可以发现其变换结果的意义输入是s（t）的线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。希尔伯特实际上是一个使相位滞后π/2的全通移相网络。
?
3.2 希尔伯特变换的性质
3.2.1 线性性质
若a,b为任意常数，且f1(t)?H[f1(t)]，f2(t)?H[f2(t)]，则有
H[af1(t)?bf2(t)]?af1(t)?bf2(t) (3-12)
???? 3.2.2 移位性质
H[f(t?a)]?f(t?a) (3-13)
?3.2.3 希尔伯特变换的希尔伯特变换
H[f(t)]??f(t) (3-14)
?此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步
得到
H2n[f(t)]?j2nf(t) (3-15)
3.2.4 逆希尔伯特变换
f(t)?H?1[f(t)]??f(t)为f(t)与??
?f(?)d? (3-16)
???(t??)???1的卷积，可表示为 t?f(t)?F[jsgn(f)F(f)] (3-17)
?1?
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基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计
其中，F(f)?F[f(t)]。
??3.2.5 奇偶特性
如果原函数f(t)是t的偶（奇），则其希尔伯特变换f(t)就是t的奇（偶）函数，?
即
???f(t)偶??f(t)奇 ?(t)奇???ff(t)偶3.2.6 能量守恒
根据帕塞瓦尔定理可知
??2???f(t)dt????|F(f)|2df
和
???2????f(t)dt??|F(f)|2df
??因而有
??2??2??f(t)dt??f(t)dt ??3.2.7 正交性质
?????f(t)f(t)dt?0 3.2.8 调制性质
对任意函数f(t)，其傅里叶变换F(t)是带限的，即
F(t)???F(t),?|f|?fm?0,?其他
则有
??H[f(t)cos2?f0t]?f(t)sin2?f0t?H[f(t)sin2?f 0t]?f(t)cos2?f 0t
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(3-20)
(3-21) 基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计
3.2.9 卷积性质
H[f1(t)*f2(t)]?f1(t)*f2(t) (3-22)
??另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域表示，而不像傅里叶变换那样，把时间函数（信号）从时域表示换成频域表示。 常用希尔伯特变换：
f(t) f(t) ?cosw0t sinw0t ejw0t sinw0t ?cosw0t ?jejw0t m(t)ejw0t
?jm(t)ejw0t 通过对希尔伯特变换的分析，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时信号的提取，因此希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位。
但是对于希尔伯特变换来说也存在以下问题：
(1) 希尔伯特变换只能在窄带信号中得到近似应用，其中B(B为信号带宽)。但是在实际应用中，希尔伯特变换对那些存在许多的非窄带信号也只能无能为力。即便是对于窄带信号，如果希尔伯特变换条件不能被窄带信号完全满足，也会直接导致结果发生错误。而且在实际信号中，由于存在大量的噪声，会使很多原来满足希尔伯特变换条件的信号而无法完全满足希尔伯特变换条件； (2) 对于任意给定t时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能存在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；
(3) 对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上会失去了原有的物理意义。
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基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计
4 Fir滤波器的基本原理及设计方法
根据冲激响应的时域特性，数字滤波器通常分为IIR（无限冲激响应）和FIR(有限冲激响应)两种。FIR(Finite Impulse Response)滤波器为有限长单位冲激响应滤波器，在数字信号处理系统中，是最基本的元件之一，它完全可以把任意幅频特性的又同时具有严格的线性相频特性得到保证，而且由于其拥有有限长单位抽样响应，因此FIR滤波器的系统相对稳定。因此，在通信、图像处理、模式识别等领域，FIR滤波器得到了广泛应用。但与IIR相比,在满足同样阻带衰减的情况下需要的阶数较高。FIR数字滤波器的基本结构为一个分节的延时线,把每一节的输出加权累加,可得到滤波器的输出。
FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h（n）长度为N，其系统函数H(z）和差分方差分别是
H(z)??h(n)zn?0N?1?n （4-1）
y(n)??h(m)x(n?m) （4-2）
m?0N?1对于FIR系统，其基本网络结构有二种，即直接型和级联型。如图4.1与图4.2。
图4.1 FIR网络直接型结构
图4.2 FIR级联型网络结构
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