[解析] (1)∵a、b、c成等差数列，且公差为2，∴a＝c－4，b＝c－2， 2π1
又∠MCN＝3，∴cosC＝－2.
c－22＋c－42－c21
由余弦定理得：＝－2，
2c－2c－4∴c2－9c＋14＝0，∴c＝7或2， ∵c>4，∴c＝7.
ACBCAB
(2)在△ABC中，＝＝，
sin∠ABCsin∠BACsin∠ACBACBC3∴sinθ＝π＝2π＝2，
sin3－θsin3π
∴AC＝2sinθ，BC＝2sin(3－θ)． ∴△ABC的周长L＝|AC|＋|BC|＋|AB| π
＝2sinθ＋2sin(3－θ)＋3
13π
＝2[2sinθ＋2cosθ+＋3＝2sin(θ＋3)＋3， πππ2π
又∵θ∈(0，3)，∴3<θ＋3<3.
πππ
∴当θ＋3＝2，即θ＝6时，L取得最大值2＋3.
1
21．(本小题满分12分)(文)(2014·长春市一调)已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(3sinx，－2)，设函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)已知a、b、c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a＝1，c＝3，且f(A)恰
π
是函数f(x)在[0，2]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．
31＋cos2x33
[解析] (1)f(x)＝(m＋n)·m＝cos2x＋3sinxcosx＋2＝＋sin2x＋222 13π
＝2cos2x＋2sin2x＋2＝sin(2x＋6)＋2， 2π
因为ω＝2，所以最小正周期T＝2＝π.
ππππ7π
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋6)＋2，当x∈[0，2]时，6≤2x＋6≤6. πππππ
由正弦函数图象可知，当2x＋6＝2时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A＋6＝2，A＝6. π
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得，1＝b2＋3－2×3×b×cos6，所以b＝1或b＝2， 经检验均符合题意．
- 11 -
1π31π3
从而当b＝1时，△ABC的面积S＝2×3×1×sin6＝4；当b＝2时，S＝2×3×2×sin6＝2. tanB2a－c
(理)(2014·浙北名校联盟联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝c. (1)求角B的大小；
π(2)求函数f(x)＝cosx·cos(x＋B)(x∈[0，2])的值域． sinBcosC2sinA－sinC[解析] (1)∵sinCcosB＝，而sinC>0， sinC∴sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，
∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∵sin(B＋C)＝sinA， 1π
∴cosB＝2，∴B＝3. 13
(2)f(x)＝2cos2x－2sinxcosx ＝
1＋cos2x31π1
－sin2x＝cos(2x＋4423)＋4，
ππ4π1
∵2x＋3∈[3，3π+，∴－1≤cos(2x＋3)≤2， 11
∴f(x)的值域为[－4，2]．
3π
22．(本小题满分14分)(文)(2015·深圳市五校联考)已知f(x)＝3sin(π＋ωx)sin(2－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π. 2π
(1)求f(3)的值；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，则求角B的大小以及f(A)的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝3sinωxcosωx－cos2ωx 311π1＝2sin2ωx－2cos2ωx－2＝sin(2ωx－6)－2. 2π
∵y＝f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝π，∴ω＝1， π1
∴f(x)＝sin(2x－6)－2，
2π2ππ17π1
∴f(3)＝sin(2×3－6)－2＝sin6－2＝－1. (2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，
∴由正弦定理可得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， ∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C) ＝sin(π－A)＝sinA，
1π
∵sinA>0，∴cosB＝2，∵B∈(0，π)，∴B＝3. - 12 -
22π
∵A＋C＝π－B＝3π，∴A∈(0，3)，
ππ7ππ1
∴2A－6∈(－6，6)，∴sin(2A－6)∈(－2，1]， π11
∴f(A)＝sin(2A－6)－2∈(－1，2]．
(理)(2015·濉溪县月考)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,23cosωx)，
1
设函数f(x)＝a·b＋λ(λ∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(2，1)． (1)求函数f(x)的最小正周期；
π3π
(2)若y＝f(x)的图象经过点(4，0)，求函数y＝f(x)在区间[0，5]上的取值范围． [解析] (1)∵f(x)＝a·b＋λ
＝(cosωx－sinωx)·(－cosωx－sinωx)＋sinωx·23cosωx＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ
π
＝3sin(2ωx)－cos(2ωx)＋λ＝2sin(2ωx－6)＋λ.
π
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－6)＝±1， ππk1
∴2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，即ω＝2＋3(k∈Z)， 15
又ω∈(2，1)，k∈Z，所以k＝1，ω＝6. 5π
∴f(x)＝2sin(3x－6)＋λ， 6
∴f(x)的最小正周期为5π.
π
(2)∵函数y＝f(x)的图象过点(4，0)，
π5πππ
∴f(4)＝2sin(3×4－6)＋λ＝0，故λ＝－2sin4＝－2. 5π
故f(x)＝2sin(3x－6)－2， 3ππ5π5π∵0≤x≤5，∴－6≤3x－6≤6， 15π
∴－2≤sin(3x－6)≤1，
5π
∴－1－2≤2sin(3x－6)－2≤2－2，
3π
故函数f(x)在[0，5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．
- 13 -