11218VP?ABCD??AB?AD?PE??a?2a?a?a3? 所以33233
即a?2 S侧=11?2?2?3+?22?6=6+23 22
【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P?ABC的侧面是直角三角形，PA?6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E．连结PE并延长交AB于点G．
（1）求证：G是AB的中点；
（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
PAGEDB
C解析 ：（1）由题意可得△ABC为正三角形，故PA?PB?PC?6． 因为P在平面ABC内的正投影为点D，故PD?平面ABC． 又AB?平面ABC，所以AB?PD．
因为D在平面PAB内的正投影为点E，故DE?平面PAB． 又AB?平面PAB，所以AB?DE．
因为AB?PD，AB?DE，PD?DE?D，PD,DE?平面PDG， 所以AB?平面PDG．又PG?平面PDG，所以AB?PG． 因为PA?PB，所以G是AB的中点．
（2）过E作EF∥BP交PA于F，则F即为所要寻找的正投影．
PFAGEDB
理由如下，因为PB?PA，PB∥EF，故EF?PA．同理EF?PC， 又PA?PC?P，PA,PC?平面PAC，所以EF?平面PAC， 故F即为点E在平面PAC内的正投影． 所以VD?PEF?C11S△PEF?DE?PF?EF?DE． 36在△PDG中，PG?32，DG?6，PD?23，故由等面积法知DE?2． 由勾股定理知PE?22，由△PEF为等腰直角三角形知PF?EF?2，故VD?PEF?
【2015，18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，
(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面BED； (Ⅱ)若∠ABC=120°，AE⊥EC， 三棱锥E- ACD 的体积为4． 36，求该三棱锥的侧面积． 3解：(Ⅰ) ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC． ∵ABCD为菱形，∴ BD⊥AC，
∴AC⊥平面BED，又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED． …6分 (Ⅱ)设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°可得， AG=GC=x33x，GB=GD=． 在RtΔAEC中，可得EG=x．
222∴在RtΔEBG为直角三角形，可得BE=2x． …9分 2∴VE?ACD?11636， 解得x =2． ?AC?GD?BE?x?32243由BA=BD=BC可得AE= ED=EC=6．
∴ΔAEC的面积为3，ΔEAD的面积与ΔECD的面积均为5．
所以三棱锥E-ACD的侧面积为3+25． …12分
18． 解析 （1）因为BE?平面ABCD，所以BE?AC． 又ABCD为菱形，所以AC?BD．
又因为BD?BE?B，BD，BE?平面BED，
所以AC?平面BED．又AC?平面AEC，所以平面AEC?平面BED． （2）在菱形ABCD中，取AB?BC?CD?AD?2x， 又?ABC?120，所以AG?GC?3x，BG?GD?x． 在△AEC中，?AEC?90，所以EG?所以在Rt△EBG中，BE?所以VE?ACD???1AC?3x， 2EG2?BG2?2x，
11636??2x?2x?sin120??2x?x?，解得x?1． 3233在Rt△EBA，Rt△EBC，Rt△EBD中， 可得AE?EC?ED?6．
所以三棱锥的侧面积S侧?2??2?5?
121?6?6?3?25． 2【2014,19】如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO?平面BB1C1C.
（1）证明：B1C?AB;
（2）若AC?AB1,?CBB1?60?,BC?1,求三棱柱ABC?A1B1C1的高. 证明：(Ⅰ)连接 BC1，则O为B1C与BC1的交点，
∵AO⊥平面BB1C1C. ∴AO⊥B1C， …2分 因为侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，…4分 ∴BC1⊥平面ABC1，∵AB?平面ABC1，
故B1C⊥AB. …6分
(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD， 又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交线为AD， 作OH⊥AD，垂足为H，∴OH⊥平面ABC. …9分
∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1，可得OD=由于AC⊥AB1，∴OA?3， 4117B1C?，∴AD?OD2?OA2?， 22421，又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC 的距离为142121，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分 77另解(等体积法)：∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1，
1132可得BO=，由于AC⊥AB1，∴OA?B1C?，∴AB=1，AC=，…9分
2222由 OH·AD=OD·OA，可得OH=
1227则等腰三角形ABC的面积为?，设点B1到平面ABC的距离为d，?12?()2?224873121由VB1-ABC=VA-BB1C得， d??,解得d?842721所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分
7
【2013，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
证明：(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B． 因为CA＝CB，所以OC⊥AB．
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB．
因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C． 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C．
(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以OC＝OA1＝3．
又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA12，
故OA1⊥OC．
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3．
【2012，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，?ACB?90?，AC=BC=
1AA1，D是棱AA12的中点．
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 【解析】（1）在Rt?DAC中，AD?AC， 得：?ADC?45?，
?? 同理：?A1DC1?45??CDC1?90，
C1A1B1DCB 得：DC1?DC．
由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1?AC?C， 所以BC?平面ACC1A1．
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1?BC 而DC?BC?C，所以DC1?平面BDC． 又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．
（2）由已知AC=BC=
A1AA1，D是棱AA1的中点， 212a?2a?a3． 2 设AA1?2a，AC?BC?AD?a，则VABC?A1B1C1?
BC为四棱锥B?ACC1D的高， 由（1），BC?平面ACC1A1，所以
所以VB?ACC1D?111?(?3a?a)?a?a3． 322 因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为
VABC?A1B1C1?VB?ACC1DVB?ACC1D1a3?a32?1． ?131a2?【2011，18】如图所示，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?DAB?60，AB?2AD，
PD?底面ABCD． （1）证明：PA?BD；
（2）若PD?AD?1，求棱锥D?PBC的高．
【解析】（1）因为?DBA?60，AB?2AD，由余弦定理得BD?3AD，
222从而BD?AD?AB，故BD?AD，又PD?底面ABCD，可得BD?PD．
?所以BD?平面PAD，故PA?BD．
（2）如图所示，作DE?PB，垂足为E．已知PD?底面ABCD，则PD?BC． 由（1）知BD?AD，又BC∥AD，所以BC?BD． 故BC?平面PBD，BC?DE，则DE?平面PBC．
?因为AD?1，AB?2，?DAB?60，
所以BD?3，又PD?1，所以PB?2．
根据DE?PB?PD?BD，得DE?33，即棱锥D?PBC的高为． 22