偏振光的矩阵
陈泽
（西华师范大学物电学院）
摘要：偏振是物理光学中的一个重要部分。近年来，科学实验研究中已
经广泛应用了光的偏振特性。而琼斯（Jones）矩阵的提出和发展迄今已历半个多世纪之久，其形式的简明有目共睹。本文将利用琼斯(Jones)矩阵来描述偏振。
引言：我们知道，波的振动方向和波的传播方向相同的波称为纵波；波
的振动方向和波的传播方向相互垂直的波称为横波，在纵波的情况下，通过波的传播方向的所有平面内的运动情况都相同，其中没有一个平面显示出比其他任何平面特殊，这通常称为波的振动对传播方向具有对称性。对横波来说，通过波的传播方向且包含振动矢量的那个平面显然和其他不包含振动矢量的任何平面有区别，这通常称为波的振动方向对传播方向没有对称性，波的振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振，它是横波区别于纵波的一个最明显的标志，只有横波才有偏振现象。光波是电磁波，光波的传播方向就是电磁波的传播方向，光波中的电矢量E和磁矢量H都与传播速度?垂直，因此光波是横波，它具有偏振性。
1、光波的偏振态
平面电磁波是横波，电场和磁场彼此正交，因此当光沿Z方向传输时，电场只有x、y方向的分量，平面波取如下形式：
E?E0cos(ut??E??0) （1） 式中，写成分量形式为：
?Ex?Eoxcos(???1)? ?Ey?Eoycos(???2) （2）
??EE?0为了求得电场矢量的端点所描绘的曲线，把上式中参变量Z消去可得：
ExEy1122 ()2Ex?()?2cos??sin2? （3）
EoxEoyE0Eoy偏振情况一般分为两种，一种是电矢量E的方向永远保护不变，即是线偏振；另一种是电矢量E端点轨迹为一圆，即圆偏振。这两种情况都是椭圆偏振
1
的特例：
由式（3），当???2??1?m?(m?0,?1,?2?)时，椭圆就退化的一条直线。
EoyEym （4） (?(?1)ExE0x这时电矢量E称为线偏振（亦称平面偏振）
当Ex.Ey两分量的振幅相等，且其相位差为?/2的奇数倍，即Eox?Eoy?Eo
???2??1?m?/2(m??1,?3,?5?)，则试（3）椭圆退化为圆：
222 （6） Ex?Ey?E0则称电矢量是圆偏振。 上述结果可用复数表示：
EyEx?EoyEox eib （7）
有??m?,m?0,?1,?2?时为线偏振光
EyEx?(?1)mEoyEox （8）
??EyEx?2?2m?,m?0,?1,?2?Eox?Eoy时为右旋圆偏振光
?ei??i （9）
???EyEx?2?2m?,m?0,?1,?2?Eox?Eoy时为左旋圆偏振光。
?ei???i （10）
除试（8），试（9），试（10）其余情况为椭圆偏振光。 2、波片
波片是除了线偏器之外的又一种要偏振元件，其基本功能是，在已知的两个正交偏振方向上，为入射的偏振光引入特定的附加位相差。
实际的波片大多是一块光轴平行于表面的单轴晶体薄板。近年来人们还开发了由有机材料做成的波片，这里以前一情况为例进行讨论。正入射到波片表面的
2
偏振光，进入波片后将分解成对应着不同折射率的寻常光和异常光。它们在波片内传播相同的距离（等于波片的厚度）后将发生不同的位相延迟，从而在射出波片时便获得了附加位相差。
具体地说，如波片材料的寻常和异常折射率分别为no和ne波片厚度为d，则寻常光（振动方垂直于光轴的线偏光）和异常光（振动方向平行于光轴的线偏线）在波片内经历的光程分别为：
Lo?dno,Le?dne （11）
两者的光程差?L为：
?L?Le?Lo?d(ne?no) （12）
引入的附加位相差??为：
???ko?L?kod(ne?no)?式中k0为光波的真空波矢值，?0为真空波长。
2??0d(ne?no) （13）
由于光波位相的2?周期性，通常可以通过加减的2?整数（包括零）倍把式（13）算得到的??“移”至??到?的范围内。如果no和ne的色散可以忽略，则?L与波长无关，但??却因其中含有项而有明显的色散，其色散值：
d??2??2dne?no （14） d?0?0因此，当人们说某波片引入的位相差为?2时，必须同时指明这是对哪一个波长而言的。
常用的单块波片有四分之一波片(简称为?4片)、半波波片（简称为?2片），它
们的?L和??为：
?4波片：
1?L?d(ne?no)?(2N?1)?0
4???(2N?1)?2
?2波片：
1?L?d(ne?no)?(2N?1)?0
2???(2N?1)?
3
3：偏振光的矩阵表示：
一定频率的任意偏振光都可以用分量表示。当波沿E方向传播时，其复数形式为：
?Ex?Exoexp[j(ke?wt??xo)] （15） ??Ey?Eyoexp[j(ke?wt??yo]试（15）用一个矩阵来表示：
?Ex??Ex0exp(j?xo)?E????exp[j(kE?wt]?（16） ?
EEexp(jy)??o??y???y0?在计算同频波的叠加或分解，公共位相项可以当作常系数，不必参与运算。此时偏振波电场可以用下述矩阵表示 ：
?Exexp(j?xo)?E~?o ? （17）
Eyexp(j?y)o??o试（17）为偏振波的琼斯（Jones）表示法，这个列矩阵叫做琼斯矢量或琼斯列矩阵。
?Exexp(j?xo)?由：?o?
Eyexp(j?y)o??oo?ymEy 线偏波的琼斯矢量形式是： ?(?)ExEox?cos?? （18） EOexp(j?)???sin??
Ey?i右旋圆偏振波的琼斯矩阵是： Ex?Exoexp(j?00????exp(j4)?Ex0? （19）
0???Ey0exp?j(40?x)??j4?0???2??????Ey??i左旋圆偏振波的琼斯矩阵形式是： Ex 4
?Ex0exp(j?0)????exp(j?)?Ex0? （20）
0???Ey0exp?j(???)???jEy0????2??????椭圆偏振波的琼斯列矩阵形式为：
?Ex0exp(j?x0)??Eyexp(j?)? αααα
yo??0（21）
4：晶体对偏振光作用矩阵表示——琼斯矩阵
? 设晶片的两个主方向分别为u轴和N轴，对沿V轴的振动分量各引入一个
位相4。设偏振光的琼斯矢量在oxy坐标中表示，u轴和x轴之间的夹角为?。
V
y
u ? x
?Ex2? ?=0，则入射偏振光??通过晶片后成为
E?y2??Ex2??Ex1?= ?E???exp(j?) （22）Eexp(j?)?y2??y1?可得出： EX2?EX1cos??sin?expj(?)?Ey1?sin?co?s?sin?co?sexpj(?)?
22?? Ey2?EX1?sin?cos??sin?cos?exp(j?)??Ey1sin??cos?exp(j?)
22??用矩阵来表达上式：
22?cos??sin?exp(j?)sin?cos??1?exp(j?)???Ex1??Ex2? ?E?=?sin?cos??1?exp(j?)?sin2??cos2?exp(j?)??Ey1? （23）
????y2??该矩阵称为琼斯（Jones）矩阵
?cos2??sin2?exp(j?)sin?cos??1?exp(j?)?? ?M???? （24）22?sin?cos??1?exp(j?)?sin??cos?exp(j?)?
5