复数的四则混合运算
[本周教学内容]：复数
[重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。
复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，除运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几何的联系。 [难点]：一元二次方程根的讨论。
[例题讲解]：
例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数 ；(3)纯虚数；(4)零。
解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i (1)当m=1或m=2时，Z是实数。 (2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。
(3)当
即当时，Z是纯虚数。
(4)当
即m=2时，Z是零。
例2．已知： 解：
，求实数x。
即
或x≥8。
例3．计算：
1
解：原式=
例4．求
解：设 则
的平方根为x+yi (x,y∈R)，
的平方根。
由复数相等的定义得 (1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25
x2+y2=5 (舍去负值)........(3) (1)+(3)，x2=3, x= (3)-(1), y2=2,
, 。
∵ ∴
，∴ 的平方根为
或
。
例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。
解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。 |Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离； ∴
例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。
2
， ,
。
解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，
几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。
(1)当2a>3即
时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。
(2)当2a=3即
时，Z的轨迹是线段F1，F2。
(3)当2a<3即
时，Z的轨迹不存在。
例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。
解：∵ a∈R，∴ 方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。 (1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。
由韦达定理 又∵ |a|+|b|≥0， ∴
①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2, ②当a<0时，|a|+|b|=
。
(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。
例8．已知
是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。
解：。
方法(1) ∵ 实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数，
∴ 也是该方程的根。
3
由韦达定理： 解得：a=1，
。
方法(2)，∵ 是方根的根，代入原方程整理得：
。
由复数相等的定义得 解得a=1，
[本周参考练习] 一、选择题：
1．下面四个命题，正确的是（ ）。 A、|Z|2=Z2 (Z∈C) B、 C、|Z|<1
。
(Z∈C)
Z1=Z2 (Z1,Z2∈C)
-1 2．Z1，Z2∈C, 则Z1+Z2∈R, 且Z1·Z2∈R，是Z1与Z2共轭的（ ）。 A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3．复数的共轭复数是（ ）。 A、3-4i B、3+4i C、 D、 4．关于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根，则m的取值范围是（ ）。 A、 C、 5．在复平面内，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4. 则复数Z的对应的点的轨迹是（ ）。 A、椭圆 B、圆 C、直线 D、线段 4 B、 D、 6．设Z=x+yi(x,y∈R)，则满足等式|Z+2|=-x的复数Z对应的点的轨迹是（ ）。 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆 7．若P、Q是复平面内|Z|=2与直线 的两个交点，则P与Q之间的距离为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、填空题 1．设复数Z1=2-i, Z2=1-3i, 则复数 2．-5-12i的平方根是______。 的虚部等于________。 3．若x∈C且x2+ix+6=5x+2i，则x=______。 参考答案： 一、1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. A 二、1. 2. 2-3i, -2+3i 3. 2, 3-i 在线测试 选择题 1．实数m≠-1时，复数(m-3m-4)+(m-5m-6)i是（ ）。 A、实数 B、虚数 C、纯虚数 D、不能确定 2 2 2．若x，y∈R，“x=0”是“x+yi”为纯虚数的是（ ）。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3．下列式子或结论中正确的是（ ）。 A、|1-3i|>|3cosθ+i·3sinθ| C、|5+2i|>|-1-6i| B、|cosθ+isinθ|= ，最小值是零。 D、|cosθ+isinθ|的最大值是 4．如果z=x+yi (x，y∈R)，则有（ ）。 A、|z|≤|x|+|y|≤C、|z|≤|x|+|y|< |z| |z| B、|z| |z|≤|x|+|y| |z|<|x|+|y| 5．设z1，z2∈C，z1= A、|z1-z2|=0 的一个必要不充分条件是（ ）。 B、 C、z1=z2 D、|z1|=|z2| 5