二阶及高阶可降阶微分方程的求解与应用
摘要：根据自己的理解对几类可降阶的微分方程的解题技巧做了一
些总结归纳，并且将这些技巧在应用中得到体现。
关键词：微分方程 可降阶 应用
前言：通过参考大量论文后可以很清楚地发现，高阶微分方程的求
解没有统一的方法，并且几乎所有的论文在介绍高阶微分方程解题方法时均试图用二阶微分方程的求解来类推到高阶方程的求解中.归纳后即根据二阶齐次线性微分方程解的结构总结出求此方程通解的一种方法，再解出非齐次线性微分方程的一个特解就可以得到非齐次微分方程的通解。本篇文章主要是对一些比较特殊而实际应用很强的二阶常系数线性非齐次方程进行研究，从而推导出具有特殊性质的高阶微分方程的解法，用于解决在实际过程中会碰到的问题。
一、三类可降阶的二阶及高阶微分方程
可降阶方程作为一类具有特殊性质的二阶方程，具、有固定的解题模式，经过听取老师上课以及自己课后的整理，总结出三种可降阶类型。
1、形如：y''?f(x) 的方程
个人觉得这种类型方程是所有可降阶方程中最简单的一类，因此最先讨论。 方法：只需令
p?y'?，则p'?y''?积分可得p??f(x)dx?C1，
也就得到了y'??f(x)dx?C1，同理可得
y??[?f(x)dx?C1]dx?C2 ?[f(x)dx]dx?C1x?C2
那么可以很容想到推导到n阶的通解形式为：
??C1n?1C2y??dx?dx??f(x)dx?x?xn?2???Cn?1x?Cn
(n?1)!(n?2)!
(k)(k?1)(n)F(x,y,y?y)?0的方程 （2）形如
'''(k?1)y,y,y?y特点：不含有因变量。
猜想：将其化成F(x,p,p,?p法便很明显可以得出。
(n?k))?0的形式便可实现降阶。那么方
(k)(k?1)(n?k)(n)p?y,p'?y,?,p?y方法：令，
则F(x,p,p,?p求出通解：p?(n?k))?0
p(x,c1,c2,?cn?k)，
(k)y?p(x,c1,c2,?cn?k) 即
再结合第一种类型，进行k次积分即可。
注意点：这里是我特别容易错的地方，就是在每次积分的后面，增加一个独立的任意常数。
(n)F(y,y',?,y)?0的方程 （3）形如
按照本文的惯例，先从二阶方程入手，方程如下： F(y,y',y'')?0
此类方程的特点也很明显，就是不含有自变量x。方法是利用代换p?y'使方程降到一阶。
这里对我而言有一个难点，就是在求y''时需用到一定的技巧。
dpdpdydpy''??*?p
dxdydxdydp代入方程可得：F(y,p,p)?0
dy这是一个关于未知函数p的一阶方程，运用变量可分离后可解得
p?p(y,c)，则y'?p(y,c)，又转化成为关于x与y的变量可分离方
程，可以顺利求解。
(n)F(y,y',?y)?0的情况。 同理可推广到高阶
二、三类可降阶的二阶及高阶微分方程的小结（个人总结）
（1）y''?f(x) ----- 逐次积分
(k)(k?1)(n)(k)F(x,y,y?y)?0p?y（2） -----
（3）F(y,y',y'')?0 ----- p?y'
(n)p?y注意点：需要特别注意第二条和第三条。这里虽然都用了
的形式，实际上第二条是y(n)?p(x)，第三条是y'?p(y)，这里在
刚开始听证明的时候混淆了。
三、三类可降阶的二阶及高阶微分方程的应用
我们之所以研究可降阶的二阶及高阶微分方程，是因为它在我们实际的生产生活中都发挥着巨大的作用，较为深刻地理解并掌握其解法可以为我们带来很多的便利。下面就通过几个案例的分析来证明其重要性。
例 一只蚂蚁在距离树洞1m的地方以1m/s的初速度出发前往目的地，但它的行进方式十分别扭，加速度始终是速度的平方与路程之比的两倍，求这只蚂蚁的运动轨迹方程y?y(t)（t<1）。
解：这是不含自变量x的方程，根据题意将其化成常微分方程。
yy''?2(y')2 y(0)?1,y'(0)?1
dpdpdydp令p?y'，则：y''?dt?dy*dt?pdy dp2yp?2p可得： dy因为初始条件已知y'(0)?1?0?p?0
dp所以 ydy?2p，
1变量可分离后积分：lnp?lny?c1
2由t?0,p?1,y?1?c1?0.
解出p与y的关系式为：p?y?y'?y 变为y与t的变量可分离方程：
221最后化简得特解：y?
1?t
个人小结：只要熟练掌握第三类可降阶方程的解题过程便可轻松解决此题。
例 从船上向海中沉放某种探测器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k>0）试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y?y(v)。
解：很典型的实际问题，解题思路是先将其化成常微分方程。
d2yB?kv? ， 加速度a?2?g?dtmmd2ydvdvdydv?*?v ， 又因为2?dtdtdydtdydvB?kv?g?? ， 所以得：vdymm化作了变量可分离方程，加上初始条件v|y?0?0， 最终表示出关系式 ：
y??
mm(mg?B?)mg?B??kvv?ln 2kkmg?B?四、结论
本篇论文对比较特殊的几种可降阶的高阶微分方程的特点进行详细的探究，总结它们的特点与解法并阐述研究的目的：解决我们实际生活以及科学研究中的一些问题.在例题中我们可以看到二阶微分方程及高阶微分方程在实际生活中的应用相当广泛，解决问题的重点就是我们把实际生活中遇到的问题转化成常微分方程，并且通过解答常微分方程来解决实际问题.
五、参考文献
常微分方程及其应用(第二版) 周义仓等 ---科学出版社