x(t) 1 sin(?t) 0 -1 y(t) 1 T t 0 -1 y(t+?) 1 T43T4T t ? 0 -1
T4??3T4??T t 参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数 4T?1??0????T2?4T Ry(?)????3???TT2???Ry(??nT)n?0,?1,?2,??
Ry(?) T/2 0 T ?
5-4 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(?)和输入—输出的互相关函数Rx(?)之间的关系为Rx(?)=Rxy(?+T)，试说明该系统起什么作用？
方波的自相关函数图
x(t) 系 统 y(t) Rx(?) Rxy(?) 0 ? 图5-25 题5-4图
0 T ?
解：因为Rx(?)=Rxy(?+T) 所以lim1TT???T0x(t)x(t??)dt?lim1TT???T0x(t)y(t???T)dt
所以x(t+?)=y(t+?+T)
令t1 = t+?+T，代入上式得 x(t1 - T)=y(t1)，即y(t) = x(t - T)
结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。
5-5 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。 解：设信号x(t)的均值为?x，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则 x(t) = ?x + x1(t)
Rx(?)?lim1T1T????T0Tx(t)x(t??)dt?lim1TT?????0Tx?x1(t)???x?x1(t??)?dt
?limT0TT1?T2?lim?xdt???xx1(t)dt???xx1(t??)dt?00T??T???022??x?0?0?Rx1(?)??x?Rx1(?)T????x2??xx1(t)??xx1(t??)?x1(t)x1(t??)?dt??
?T0x1(t)x1(t??)dt???如果x1(t)不含周期分量，则limRx(?)?0，所以此时limRx(?)??x；如果x(t)含周期
???12???分量，则Rx(?)中必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量，则Rx(?)
中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x02/2；
根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期
???及幅值，参见下面的图。例如：如果limRx(?)?C，则?x??C。
Rx(?) ?x2+ ?x2 ?x2 0 ? ?x2- ?x2 自相关函数的性质图示 Rx(?) x0220 含有简谐周期分量的自相关函数的图
?
5-6 已知信号的自相关函数为Acos??，请确定该信号的均方值?x2和均方根值xrms。 解：Rx(?)=Acos?? ?x2= Rx(0)=A
xrms??2x?A ?25-7 应用巴塞伐尔定理求?sinc(t)dt积分值。
??解：令x(t)=sinc(t)，其傅里叶变换为
???X(f)????02?其他?1?f??12?
根据巴塞伐尔定理得
????sinc(t)dt?2????x(t)dt?2????X(f)df?21?2?1?2??df???22?1?2??1???? 2??5-8 对三个正弦信号x1(t)=cos2?t、x2(t)=cos6?t、x3(t)=cos10?t进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。 解：采样序列x(n)
N?1N?1
x1(n)??n?0x1(t)?(t?nTs)??n?0cos?2?nTs??(t?nTs)?n?n??cos?(t?) ??2?4??n?0N?1
采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，??
x2(n)?n?3n??cos?(t?) ??2?4??n?0N?1采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，??
x2(n)?n?5n??cos?(t?) ??2?4??n?0N?1采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，?? x1(t) t x2(t) t x3(t) t
从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三
个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。