福州三中2015年校模拟考试
理科数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1．“a?b,c?0”是“ac?bc”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合M???x,y?y?2?，N???x,y?y?a?，若MxN??，则实数a的取值
范围是（ ）
A．(??,1) B．(??,1] C．(??,0) D．(??,0] 3．执行如图所示的程序框图，若a?1,b?2，则输出的结果是（ ） A．9 B．11 C．13 D．15
4．已知角?的终边经过点P?4,m?，且sin??开始 输入a,b a?12? 否 是 3a?2b?a ，则m等于（ ） 5输出a 16A．?3 B．3 C． D．?3 结束 3m?im?R,i为虚数单位?在复平面上对应的点不可能5．复数z?位于（ ） ?．．．1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
PF2x2?y2?1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则6．设F1,F2为椭圆
PF14的值为 ( ) A．
1 3 B．
1 5 C．
1 7 D．
1 91 0.5
2 1 7．在如图5?5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，那么x?y?z的值为（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4
x y z 第7题图
8．定义在R上的函数f(x)，对?x1,x2?R都有f(x1?x2)?f(x1)?f?x2??1，则下列命题正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)?1是偶函数 D．f(x)?1是奇函数 9．若等式(2x?1)2014?a0?a1x?a2x2???a2014x2014对于一切实数x都成立，
·1·
111a1?a2???a2014?( ) 232015112A． B． C． D．0
403020152015则a0?10．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点
1P(a,?)的所有直线中（ ）
2A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n?n?2?条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
11．一个总体分为A,B,C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为
1，则总体的个数为___________． 2012．在?ABC中，若角A为锐角，且AB?(2,3),AC?(3,m)，则实数m的取值范围是________． 13．如图所示2?2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中任何一个, 允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法有_______种（用数字作答）．
D1
14．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?5,BC?4,AA1?3，沿该 A1A C B D C1B1的共
（13题图）
长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，
那么这个四棱柱表面积的最大值为___________．
D A （14题图） B
C 15．为了近似估计?的值，用计算机分别产生90个在??1,1?的均匀随机数x1,x2,y ,x90和
y1,y2,,y90，在90组数对?xi,yi?1?i?90,i?N*中，经统计有25组 1 O ????y?tanx?4数对满足?，则以此估计的?值为________．
22??x?1???y?1??4??1 1 x ?1 （15题图）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分）
甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率
·2·
均为
32，但由于体力原因，第7场获胜的概率为． 55（Ⅰ）求甲队分别以4:2，4:3获胜的概率；
（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．
17.（本小题满分13分）
某同学用“五点法”画函数f?x??Asin??x????B（A?0,??0,??像时，列表并填入的部分数据如下表：
x ?x?? ?2）在某一个周期内的图
x1 0 1 3x2 ?2 ? 0 7 33? 2?3 x3 2? Asin??x????B 0 3 0
（Ⅰ）请求出上表中的x1,x2,x3的值，并写出函数f(x)的解析式； （Ⅱ）将f(x)的图像向右平移
2个单位得到函数g?x?的图像，若函数g?x?在区间?0,m? 3（3?m?4）上的图像的最高点和最低点分别为M,N，求向量NM与ON夹角?的大小．
18.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xoy中，点N与点M??1,1?关于原点O对称，P是动点，且直线MP与NP的斜率之积等于?1． 3y (Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线MP和NP与直线x?3分别交于A,B两点，问：是否存在点P使得?PMN与?PAB的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由.
·3·
O 3 x
19．（本小题满分13分）
如图，菱形ABCD的边长为2，现将?ACD沿对角线AC折起至?ACP位置，并使平面PAC?平面ABC．
(Ⅰ)求证：AC?PB；
(Ⅱ)在菱形ABCD中，若?ABC?60，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； (Ⅲ)求四面体PABC体积的最大值． 20．（本小题满分14分） 已知函数f?x??AD0PABCCB12x?ax??a?1?lnx ?a?1?． 2(Ⅰ) 讨论函数f?x?的单调性；
(Ⅱ) 若a?2，数列?an?满足an?1?f?an?． （1）若首项a1?10，证明数列?an?为递增数列；
（2）若首项为正整数，且数列?an?为递增数列，求首项a1的最小值．
21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分． （1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上的任意一点P?x,y?变换为点P??x?2y,x?y?． (Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵M22?1；
(Ⅱ)求圆x?y?1在矩阵M对应的变换作用后得到的曲线C的方程．
·4·
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点
P?1,0?，斜率为3，曲线C：???cos2??8cos?．
(Ⅰ)写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点，求PA?PB的值．
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知m?0，函数f?x??2x?1?2x?m的最大值为3． (Ⅰ)求实数m的值；
(Ⅱ)若实数a,b,c满足a?2b?c?m，求a?b?c的最小值．
222福州三中2015年校模拟考试理科数学参考答案
一、选择题：
ADCBC CADBC
9、解法一：∵(2x?1)2014?a0?a1x?a2x2???a2014x2014，
1111， (2x?1)2015?C?a0x?a1x2?a2x3???a2014x2015（C为常数）
40302320151111取x?1得a0?a1?a2???a2014??C，
232015403011再取x?0得， (?1)2015?C?0，即得C?403040301111∴a0?a1?a2???，故选B． a2014?2320152015∴
解法二：∵(2x?1)2014?a0?a1x?a2x2???a2014x2014，
∴
?0?2x?1?12014??a0?a1x?a2x2???a2014x2014dx
01??∴
1111?a0?a1?a2???a2014，故选B． 20152320151210、解：设一条直线上存在两个有理点A(x1,y1),B(x2,y2)，由于P(a,?)也在此直线上，若x1?x2，
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