高等数学教案
lim?h?0f(x?h)?f(x)f(x?h)?f(x)及lim?h?0?hh都存在且相等??
f(x?h)?f(x)?(x0)?lim f(x)在x0处的左导数?f??
h?0?h?(x0)?lim f(x)在x0处的右导数?f??h?0f(x?h)?f(x)?
h 导数与左右导数的关系? 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ??(x0) 和右导数f ??(x0)都存在且相等? 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导? 且右导数f ??(a) 和左导数f ??(b)都存在? 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导?
例6．求函数f(x)??x|在x?0处的导数?
?(0)?lim 解? f??h?0f(0?h)?f(0)|h|?lim??1? h?0?hhf(0?h)?f(0)|h|?lim?1?? h?0?hh?(0)?lim f??h?0 因为f ??(0)? f ??(0)? 所以函数f(x)?|x|在x?0处不可导?
四、导数的几何意义
函数y?f(x)在点x0处的导数f ?(x0)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率? 即
f ?(x 0)?tan ? ? 其中?是切线的倾角?
如果y?f(x)在点x0处的导数为无穷大? 这时曲线y?f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x?x0为极限位置? 即曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x?x0? ? 由直线的点斜式方程? 可知曲线y?f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y?y0?f ?(x0)(x?x0)?
过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y?f(x)在点M处的法线如果 f ?(x0)?0? 法线的斜率为?1? 从而法线方程为 f?(x0) y?y0??1(x?x0)?
f?(x0) 例8? 求等边双曲线y?1在点(1, 2)处的切线的斜率? 并写出在该点处的切线方程和法
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线方程?
解? y???12? 所求切线及法线的斜率分别为
x k1?(?12)x?1??4? k2??1?1?
xk142 所求切线方程为y?2??4(x?1)? 即4x?y?4?0?
2 所求法线方程为y?2?1(x?1)? 即2x?8y?15?0?
42 例9 求曲线y?xx的通过点(0? ?4)的切线方程? 解 设切点的横坐标为x0? 则切线的斜率为 f?(x03)?(x2)??32x21?3x0? x?x02于是所求切线的方程可设为 y?x0x0?3x0(x?x0)?
2 根据题目要求? 点(0? ?4)在切线上? 因此 ?4?x0x0?3x0(0?x0)?
2解之得x0?4? 于是所求切线的方程为 y?44?34(x?4)? 即3x?y?4?0?
2 四、函数的可导性与连续性的关系
设函数y?f(x)在点x0 处可导? 即lim lim?y?lim?x?0?y?f?(x0)存在? 则
?x?0?x?y?y??x?lim?lim?x?f?(x0)?0?0? ?x?0?x?x?0?x?x?0这就是说? 函数y?f(x)在点x0 处是连续的? 所以? 如果函数y?f(x)在点x处可导? 则函数在该
点必连续?
另一方面? 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导?
例7． 函数f(x)?3x在区间(??, ??)内连续? 但在点x?0处不可导? 这是因为函数在点x?0处导数为无穷大
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3f(0?h)?f(0) lim?limh?0????
h?0h?0hh
§2? 2 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u?u(x)及v?v(x)在点x具有导数? 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数? 并且 [u(x)??v(x)]??u?(x)??v?(x) ?
[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?
u(x)??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) ?? ??v2(x)?v(x)?? 证明 (1)[u(x)?v(x)]??lim[u(x?h)?v(x?h)]?[u(x)?v(x)]
h?0hu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)? ?lim??u?(x)?v?(x)? ??h?0?hh?? 法则(1)可简单地表示为
(u?v)??u??v? ? (2)[u(x)?v(x)]??limu(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)
h?0h ?lim1[u(x?h)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x)]
h?0hu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)? ?lim? v(x?h)?u(x)?h?0?hh?? ?limu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x) ?limv(x?h)?u(x)?limh?0h?0h?0hh ?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?
其中limv(x?h)?v(x)是由于v?(x)存在? 故v(x)在点x连续?
h?0 法则(2)可简单地表示为
(uv)??u?v?uv??
u(x?h)u(x)?u(x)??v(x?h)v(x)u(x?h)v(x)?u(x)v(x?h)? (3) ? ?lim?limh?0hv(x?h)v(x)h?v(x)??h?0第 8 页 共 31 页