体的质量.(注意均匀物体的质量等于其体密度与体积的乘积)
解: 将球分成一层一层的同心球壳,与球心距离在 [ x, x+dx ] 中的球壳质量为 dM, 体积为 dv , 则
RRR 所求=M??dM0???dv0??x02(4?xdx)?24?R55
评分:只看最后一行，积分限1分，dM??dv?x2dv 1分，dv?4?xdx 3分，结论1分.
14．(8分) 设f??(x)?0,f(0)?0,证明：.
对任意a?0,b?0,都有f(a?b)?f(a)?f(b)
2解1: 由中值定理
f(a?b)?f(a)?f?(?1)b,a??1?a?b ,0??2?b
f(b)?f(b)?f(0)?f?(?2)b则 左?右?f(a?b)?f(a)?f(b)?[f?(?1)?f?(?2)]b 由于f??(x)?0,所以f?(x)单减, 不妨设b?a,
则0??2?b?a??1?f?(?1)?f?(?2)?[f?(?1)?f?(?2)]b?0 故 左?右?0.
评分:第1、2、3、4、5、6、7、8行分别给0、2、2、0、1、1、1、1分(第4、8行一起1分).
解2: 令H(x)?f(x)?f(a)?f(a?x)， 则 x?0时，H?(x)?f?(x)?f?(a?x);
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由于f??(x)?0,所以f?(x)单减,
故由a?0?x?0时，H?(x)?f?(x)?f?(a?x)?0 x?0时，H(x)单增;
b?0时，H(b)?右?左?H(0)?0.
评分:做到第1、2、3、4、5、6行后，给到3、4、5、6、6、8分
601?|x|601?|x?4|附加题1．(10分) 求f(x)??在(??,??)上的最值及值域.
解2: 因为解f(x)连续，所以f(x)的最值只能取在驻点、不可导点和区间端点。对于开区间，算其端点的函数极限值，如极限值最大(小),函数无最大(小)值.又连续函数的值域在最值(包括前面说的极限值)之间(如有极限值,值域不包含极限值).
60?60??1?x1?x?4,?60?60?f(x)???,?1?x1?x?460?60?,?1?x1?x?4?x?0,0?x?4, 4?x.?6060?,?22(1?x)(5?x)?6060??f?(x)????,22(5?x)?(1?x)6060???,2?(1?x)2(x?3)?x?0,0?x?4, 4?x.不算 x=0,x=4 的导数, 把x=0,x=4 当做最值嫌疑点. 令f?(x)?0,显然x?0时,f?(x)?0无解;x?2.
x?4时,f?(x)?0也无解.，
而0?x?4时,f?(x)?0的解为计算所有最值疑点的函数值
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f(??)?f(??)?0,f(0)?f(4)?72,f(2)?40
所以函数的最大值为 72 , 无最小值; 值域为 (0,72 ] .
评分: 分段的函数与导数各1.5分(一段0.5分),求出驻点3分(一段1分), 最值疑点的函数值: 极限值1分, 函数值1分; 两个结论,一个1分. 附加题2．(10分) 设f (x)是连续函数, a>0是一个常数, 证明
a?12?2a?dx?f??x?x2?x???a?12?a?dx?f??x?x?x.
??解: 令u?x,则2
dxx?2xdx2x2?du2ua2a2?左??1?a?du1??f?u???u?2u2?a22a2?122?a?dx?f??x?x?x
??aa111111????左?右???????????????211212a21212?a1?aaaa2????2?a?dx?f??x?x?x
??令t?ax,则
a2?a2?a?dx?f??x?x?x???1?a?a2??t?2a2dt?f???t?t?t?1a2??a?12?a?dx?f??x?x?x
???左?右?0.
评分:做到第1、2、3、4、5、6行后，给到2、4、6、8、10、10分.
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