例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.
证明 给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同. 一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的
“+”号室，他的路线是+-+-?+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.
例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3?anan+1an+2?其中ai(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数?，an+2是an+an+1(n=1,2?,)的个位数，证明A是有理数.
证明 为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.?ab?ab?此小数就开始循环. 而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律： A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇?? 又a是奇数可取1，3，5，7，9； b是偶数可取0，2，4，6，8.
所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数. 练 习 1.填空题
（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.
（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的偶数之和是____.
多18，这五个
（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？ 答____. 2.选择题
（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（ ） ①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数； ②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数； ③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数； ④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若n是大于1的整数，则的值（ ）.
（A）一定是偶数 （B）必然是非零偶数 （C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数
（3）已知关于x的二次三项式ax+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（ ）
（A）不能确定奇数还是偶数 （B）必然是非零偶数 （C）必然是奇数 （D）必然是零 3.（1986年宿州竞赛题）试证明1
19862
+9
1986
+8
1986
+6
1986
是一个偶数.
4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数. 5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除
6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.
7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.
8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3+1能被2或2整除，而不能被2的更高次幂整除.
9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3?，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？
练习参考答案
１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）
（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８． （３）不能． ２．Ｂ．Ｂ．Ａ ３．１是奇数１，９故最后为偶数．
１９８６
１９８６
n2
的个位数字是奇数１，而８
１９８６
，６
１９８６
都是偶数，
４．仿例５ １２０３４６５８７９．
５．设ａ１，ａ２，?，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋?＋ａｎ＝０ ①
ａ１·ａ２??ａｎ＝ｎ ②。假如ｎ为奇数，由②，所有ａｉ皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由②知ａｉ中必有一个偶数，由①知ａｉ中必有另一个偶数．于是ａｉ中必有两个偶数，因而由②知ｎ必能被４整除．
６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边
及重复计算的边数扣共有（３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶
性时，（３ｋ－ｎ）才是整数．
７．设这个四位数是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋
ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．
８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１）＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ
＋１的展开式．
ｎ
９．除９９５外，可将１，２，?，１９８９所有数分为９９４对：（１，１９８９）（２，１９８８）?（９９４，９９６）每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“＋”，“－”号，运算结果只能是偶数．而９９５为奇数，所以数１，２，?，１９８９的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于１，数１可用下列方式求得：
１＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋?＋（１９８６－１９８７－１９８８＋１９８９）．