（c）证明：φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
首先找满足条件的a，a要满足aˉ1 mod n ≡a，即aˉ1 a≡a≡1( mod n)且gcd(a，n)=1
2??a??1(modp)?a?1( mod p)及等价于?2 ， 即?
a??1(modq)???a?1( mod q)2
根据中国剩余定理，a一共有4个解
当a≡1(mod p)且a≡1(mod q)，即a≡1(mod n)
又b(1+a)≡0( mod n)，则2b≡0( mod n)，又因为gcd(2，n)=1，故b只有一个解
当a≡1(mod p)且a≡-1(mod q)，即可令a+1=k1p+2, a+1=k2q，（k1，k2?Z）
则gcd(a+1，n)=q，又因为b(1+a)≡0( mod n)，可解得b=pt(mod n) (t=1，2，3……q-1) 即b有q个解。
当a≡-1(mod p)且a≡1(mod q)，即可令a+1=k1p, a+1=k2q+2，（k1，k2?Z）
则gcd(a+1，n)=p，又因为b(1+a)≡0( mod n)，可解得b=qt(mod n) (t=1，2，3……p-1) 即b有p个解。
当a≡-1(mod p)且a≡-1(mod q)，即a=pq-1，
又b(1+a)≡0( mod n)，则bn≡0( mod n)，b有n个解
则定义在Zn上的所有仿射密码的对合密钥量是n+p+q+1。
1.12（陈志明）
(a)在Zp上，2维行向量共有p个
其中，零向量（0，0）有1个，非零向量共有p?1个。 对于零向量（0，0），无法组成可逆矩阵，不予考虑。
对于非零向量，设一个非零向量为（a，b），其中a?b?0， 有向量k（a，b）与（a，b）线性相关，其中k=1，2，……，p-1。 且易证得，当k1?k2时，有k1(a,b)?k2(a,b)， 即k（a，b）两两互不相等 由此可得：
与向量（a，b）线性相关的行向量有且仅有p-1个。 故，可将p?1个非零向量，每p-1个分为一组， 且每组中的行向量俩俩之间线性相关， 共分为p+1组
从p+1组中取两组，从取出的两组中各取一个行向量， 对取出的两个行向量进行排列后可得一个可逆矩阵。 因此可得，可逆矩阵数量为：
222222Cp(p?1)A?(p?1)p/2?(p?1)?2?(p?1)(p?p) ?1222222（b）
1.13（刘庆宾、喻思敏）
32
由12题给出的结论，我们有当p为素数时，有p+p-p种情况使得二维矩阵|A|mod p没有逆。
对于n=6 如果|A|≡0 mod6，等价{|A|≡0 mod2和|A|≡0 mod3}
例如，对于矩阵中的a11位置，任意两个等式由中国剩余定理一定可以求出唯一的在mod6下的解。对于分别来自mod2与mod3不可逆的矩阵集合中任意两个对象都可以解得唯一一个mod6不可逆矩阵，因此所有的使得mod6下矩阵没有逆的情况有（8+4-2）*（27+9-3）=330，可逆情况有36*36-330=966种
同理 n=26 等价{|A|≡0 mod2和|A|≡0 mod13}，矩阵没有逆的情况有（8+4-2）*（169*13+169-13）=23530，可逆情况有169*169*16-23530=433446种
当n=9时 易证|A|在mod9没有逆和|A|≡0 mod3是等价的，只是元素的所在域不同。故不可逆矩阵个数为9*9*（27+9-3）=2673，可逆矩阵有81*81-3673=2888个
1.14(罗志伟)
(a) 因为 ，所以，即有,。
(b) 因为m=2，所以令
为0，所有的密钥对为
其中1.15(付晓帆)
，
，，，且不同时
为K可逆的条件。
?11112?25????解：令A=??，B=4232，则
???95???17159?? (a).由题意知：?detA??1?5?5??23，A?=?,所以 ???92??1A=?detA??1?1115?A?23A???
120????
?17781?254??2136??1? (b).由题意知：?detB??21,B???2?19546???241320? ,所以
???????331172?21????7165???251122??1?1?? B??detB?B?21B??10134?
????17241??
1.16（陈诗洋） (a) Y π -1 (b)
明文：gentlemen do not read each other smail
1.17(祁冠杰)
1 2 2 4 3 6 4 1 5 8 6 3 7 5 8 7 （a） 必要性：
因为π(i)=j，π(j)=i
而且π-1(j)=i 所以π(i)=π-1(i) 所以π为对合密钥 充分性：
因为π是对合密钥
所以有π(i)=j从而有π-1(i)=j 即π(j)=i
综上所述从而得证 （b）
当m=2时，对合密钥为 X 1 2 π(x) 2 1 或者 π(x)={1,2}
当m=3，对合密钥
π(x)={1,2,3}或者π(x)={3,2,1}或者π(x)={1,3,2}或者π(x)={2,1,3} 当m=4，对合密钥
π(x)={1,2,3,4}或者π(x)={1,3,2,4}或者π(x)={1,2,4,3}或者π(x)={1,4,3,2}或者π(x)={2,1,3,4}或者π(x)={2,1,4,3}或者π(x)={3,2,1,4}或者π(x)={3,4,1,2}或者π(x)={4,2,3,1}或者π(x)={4,3,2,1} 当m=5时，对合密钥为
π(x)={1,2,3,4,5}或者π(x)={1,3,2,4,5}或者π(x)={1,3,2,5,4}或者π(x)={1,4,3,2,5}或者π(x)={1,4,5,2,3}或者π(x)={1,5,4,3,2}或者π(x)={1,5,3,4,2}或者π(x)={2,1,3,4,5}或者π(x)={2,1,4,3,5}或者π(x)={2,1,5,4,3}或者π(x)={2,1,3,5,4}或者π(x)={3,2,1,4,5}或者π(x)={3,4,1,2,5}或者π(x)={3,5,1,4,2}或者π(x)={4,2,3,1,5}或者π(x)={4,3,2,1,5}或者π(x)={4,5,3,1,2}或者π(x)={4,2,5,1,3}或者π(x)={4,2,5,1,3}或者π(x)={5,2,3,4,1}或者π(x)={5,3,2,4,1}或者π(x)={5,2,4,3,1}或者π(x)={5,4,3,2,1} 当m=6时，对合密钥为 π(x)=
{1,2,3,4,5,6}or{1,2,3,4,6,5}or{1,2,3,5,4,6}or{1,2,3,6,5,4}or {1,2,4,3,5,6}or{1,2,4,3,6,5}or{1,2,5,4,3,6}or{1,2,5,6,3,4}or {1,2,6,4,5,3}or{1,2,6,5,4,3}or{1,3,2,4,5,6}or{1,3,2,5,4,6}or {1,3,2,6,5,4}or{1,3,2,4,6,5}or{1,4,3,2,5,6}or{1,4,5,2,3,6}or {1,4,6,2,5,3}如此类推
1.18(付鹏)若(z0,z1,z2,z3)=(0,0,0,0),则由zi?4=(zi+zi?1+zi?2+zi?4)mod2可知zk=0(k=0,1,2......)此时周期为1;若(z0,z1,z2,z3)=(0,0,0,1),则由zi?4=(zi+zi?1+zi?2+zi?4)mod2可知,得到的密钥流为:0001 1000 1100 0110 0011 0001 ......可知周期为5;由上密码流可知:若(z0,z1,z2,z3)的值取为0001,1000,1100,0110,0011,时,密钥流周期都为5若(z0,z1,z2,z3)=(0,0,1,0),则由zi?4=(zi+zi?1+zi?2+zi?4)mod2可知,得到的密钥流为:0010 1001 0100 1010 0101 0010......可知周期为5由上密码流可知:若(z0,z1,z2,z3)的值取为0010,1001,0100,1010,0101,时,密钥流周期都为5若(z0,z1,z2,z3)=(0,1,1,1),则由zi?4=(zi+zi?1+zi?2+zi?4)mod2可知,得到的密钥流为:0111 1011 1101 1110 1111 0111......可知周期为5由上密码流可知:若(z0,z1,z2,z3)的值取为0111,1011,1101,1110,1111,时,密钥流周期都为5由上可知(z0,z1,z2,z3)=(0,0,0,0)时,周期为1;其他时刻都有周期为5.
1.19（喻思敏）
由递归关系：0000->0000 周期1
0001：->0011->0111->1111->1110->1101->1010->0101->
1011->0110->1100->1001->0010->0100->1000->0001 周期15
1.20(郑阳)
证明：设|∑|=m 设状态的周期为T， ∵σi=f(σi-1，K)，σi+ T =σi
下一状态只与前一状态相关，当某一状态与前面某状态重复时，接下来的所有状态都将重复 ∴T≤m，
又zi=g(σi,K),
∴zi+T=zi,
∴Tz≤T≤m=|∑|，
即使用这种方法产生的密钥流的周期至多为|∑|
1.21(陈志坤)